高等数学公式手册
1 1时，收敛于
1 x 1 x x 2 x3 x n
1时，发散
对于级数(3)a0 a1 x a2 x 2 a x n ，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全
R时收敛 数轴上都收敛，则必存 在R，使 R时发散，其中R称为收敛半径。
1
0时，R
an 1 ，其中a，a是(3)的系数，则nn 1求收敛半径的方法：设 lim 0时，R
n an
时，R 0
函数展开成幂级数：
R时不定
( n ) ( x ) f ( x )2 n f 函数展开成泰勒级数： f ( x) f ( x0 )( x x0 ) ( x x 0) ( x x 0)
n! 2!
f ( n 1)( ) n 1 余项：R ( x x x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim R 0nn 0) , f ( n (n 1)!
f ( n ) (0) n f (0) 2
x0 0时即为麦克劳林公式： f ( x) f (0) f (0) x x x
2! n!
一些函数展开成幂级数：
m(m 1) 2 m(m 1) (m n 1) n
x x ( 1 x 1)
2! n! 2 n 1 3
x x5 n 1 x sin x x ( 1) ( x ) 3! 5! (2n 1)! (1 x)m 1 mx
欧拉公式：
eix e ix
cos x 2 ix
e cos x i sin x 或 ix ix e e sin x 2
三角级数：
a0
(an cosnx bn sin nx) f (t) A0 An sin(n t n ) 2 n 1 n 1
其中，a0 aA0，an An sin n，bn An cos n， t x。
正交性：1, sin x, cos x, sin 2x, cos2x sin nx, cosnx 任意两个不同项的乘积在[ , ]
上的积分＝0。
傅立叶级数：
