第7章 岩土工程数值分析方法 有限元法 边界元法 有限差分法
离散单元法
概述
1 有限元法
基本思路：将复杂的结构看成由有限个仅在结点处
联结的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立 相关物理量之间的相互联系。然后，依据单元之间 的联系再将各单元组装成整体，从而获得整体特性 方程，应用方程相应的解法，即可完成整个问题的 分析 分析过程：结构离散化 集成总体特性 确定单元位移模式 接方程求未知量 单元特性分析
有限单元法的理论基础 虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充
要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于内 力总虚功
We F ldxdy F ldsA T b Sa T S
Wi dxdyT A
We Wi
最小势能原理
定义1:外力从位移状态退回到无位移的初始状态时所作的功 称为外力势能
E ( F ldxdy F lds)* p A T b Sa T S
定义2:应变能和外力势能的和称为总势能
1 E p T dxdy ( FbT ldxdy FST lds) A Sa 2 A
最小势能原理：位移状态l为真实位移状态的充要条件是，对 应l的势能一阶变分为零。也即对应位移l的势能取驻值(对线 弹性问题为最小值)
E p 0
有限元法的基本方程
单元位移函数
(i,1) | ( x1 , y1 ) | (u1 , v1 )
( j,2) | ( x2 , y2 ) | (u2 , v2 )假设任意点的位移：
(k ,3) | ( x3 , y3 ) | (u3 , v3 )
u ( x, y ) a1 a2 x a3 y v( x, y ) a4 a5 x a6 y
单元位移函数： u ( x, y ) N1 ( x, y )u1 N 2 ( x, y )u 2 N 3 ( x, y )u3
v( x, y ) N1 ( x, y )v1 N 2 ( x, y )v2 N 3 ( x, y )v3
或： u
[N ] v N1 [N ] 0 0 N1 N2 0 0 N2 N3 0 0 N3
u1
v1 u2
v2
u3
v3
T
插值函数(形函数)
N1 [N ] 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
ai bi x ci y N i ( x, y ) ( x1 y2 x2 y3 x3 y1 ) ( x2 y1 x3 y2 x1 y3 )形函数特点：
N ( x , y ) 1, i 1,2,3 i i i ,i j N i ( x j , yi ) 0, i 1,2,3
N ( x, y ) 1i 1 i
3
单元应变矩阵
单元应变矩阵(几何矩阵):
x x y 0 xy y
0 u L N B y v x 0 N1 y N1 x N 2 x 0 N 2 y 0 N 2 y N 2 x N 3 x 0 N 3 y 0 N 3 y N 3 x
N1 x B L N 0
N 1 y
N1 x B 0 N 1 y
0 N1 y N1 x
N 2 x 0 N 2 y
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 B1 y N 3 x
B2
B3
N i x Bi 0 N i y
0 bi N i 1 0 y 2 ci N i x
0 ci , i 1,2,3 bi
单元应力矩阵
x y D D B S xy 单元应力矩阵：
S D B D B1
B2
B3 S1
S2
S3
Si D Bi
单元刚度矩阵
岩土体或结构体发生虚位移，单元结点的虚位移为 应变为 * ,则根据虚功原理有：
,相应的虚*
N F tdA N P tds tdA* T T * T T * T An A An
F F k * T e * T * T e * T e e
T B D B tdA e A n
单元刚度矩阵：
k B D B tdA B D B t e T T An
总体刚度矩阵
由于虚位移
的任意性，等式两边与其相乘的矩阵相等，则： e k e F *
设结构体剖分成n个单元，根据虚功有：n * T n e
F k * T e e i 1 i 1
K P U
总体刚度矩阵
K 总体刚度矩阵 U 结点位移列阵 P 荷载列阵
等参元分析
平面任意四边形单元
4
3
0
2
1结点位移矩阵：
u1
v1 u2
v2 um
vm
T
插值函数：
N1 [N ] 0
0 N1
N2 0
0
Nm 0
N2
0 Nm
1 N1 ( , ) (1 )(1 ) 4 1 N 2 ( , ) (1 )(1 ) 4
1 N 3 ( , ) (1 )(1 ) 4 1 N 4 ( , ) (1 )(1 ) 4
几何矩阵：
B B1 N i x Bi 0 N i y 0 N i y N i x
B2 Bm
N i N i x 1 N J N i i y
i 1,2,3, , m
单元刚度矩阵：
k B D B tdAe T An
B D B t J d d T 1 1 m 1
1 1
( B D B i t J ) lp
WlW pT i 1
m
