双曲线的性质(一 )
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)yMM F2
y
图象F1 o F2
xF1
x
方程 焦点a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a bF ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a bF(0, ± c)2 2
2
2
c a b2
y图形
y
A1
.2 2
B2O
F1
.
F2
A2
x
. .B2
F1(-c,0) B1 F2(c,0)方程 范围
F1(-c,0)2
F1
A1 A2O
F2
B12
x F2(c,0)
x y 1 (a b 0) a b2
2
x y 1 (a 0,b 0 ) a b2 2
a x a
b y b
x a 或 x a,y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
关于x轴、y轴、原点对称A1(- a,0),A2(a,0)
c e a
(0 e 1)
c e a
(e 1)
无
b y x a
课堂新授
一、研究双曲线
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b(-x,y)
的简单几何性质y(x,y)
1、范围 2 x 2 2 2 1,即x a a x a, x a 2、对称性
-a (-x,-y)
o a(x,-y)
x
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)(2) 如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 (3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线A1 -a
y b
B2o a A2 x
x y m( m 0)2 2
-b B 1
4、渐近线动画演示 y Q b N(x,y’) M(x,y)
双曲线在第一象限内部 分的方程为 2 2 x y (1) b 双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a y x 2 a 2 (b 0) x a b 的渐近线为y x a b 它与y x的位置关系 : a 等轴双曲线 x 2 y 2 m (2) A1 b 在y x的下方 (m 0)a 的渐近线为
B2
A2o a x
a (3) 利用渐近线可以较准确的 慢慢靠近 画出双曲线的草图
yy b xx 的位置的变化趋势 : 它与
B1
b y x a
b y x a
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 (1)定义： a 双曲线的 离心率。(2)e的范围：
c>a>0
e >1
(3)e的含义：b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e (1, )时， (0, ), 且e增大 , 也增大 a a e增大时，渐近线与实轴 的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
(4)等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线(5)
c e a
c a b2 2
2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求 二
y x 二、导出双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a b y 的简单几何性质(1)范围: y a, y a
2
2
(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称(3)顶点: (0,-a)、(0,a) (4)渐近线: y a xb-b
ao b x
-a
c (5)离心率:
e a
小
结
双 曲 线
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
x2 y2 2 1 2 a b (a 0, b 0) y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
x a
x ay a或
或
y a
b c 关于 ( a,0) y x e 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c2 a 2 b2 ) 称 (0, a) y x b
例题讲解
例1 :
y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长, 求双曲线 9y2 x2 2 1 2 4 3
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3 半焦距c= 42 32 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:e c 5 a 4
渐近线方程: y
4 x 3
例2
5 已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e , 4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方 程，并且求出它的渐近线和焦点坐标. 2 2x y 2 1 a2 b
解：依题意可设双曲线 的方程为
2a 16,即a 8c 5 又 e , c 10 a 4
b 2 c 2 a 2 102 82 36x2 y2 双曲线的方程为 1 64 36 3 渐近线方程为 y x 4
焦点F1 ( 10,0), F2 (10,0)
例题讲解
例3 :求下列双曲线的标准方程：
x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3 ) ; 9 16
x2 y2 (3 ⑵与双曲线 1 有公共焦点，且过点 2 , 2) 16 4
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ; ⑴与双曲线 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 1 的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 ( 3,2 3) 在射线 y x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0), a b b 4 2 9 a 3 x2 y2 a ∴ 解之得 1 4 ,∴ 双曲线方程为 9 2 2 4 b2 4 ( 3) (2 3) 1 2 4 a2 b
法二：巧设方程,运用待定系数法. x2 y2 ⑴设双曲线方程为 ( 0) ,1 4
( 3)2 (2 3)2 9 16 9 16 2 2 x y 双曲线的方程为 1 9 4 4
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 16 4法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0) a b a 2 b 2 20 a 2 12 则 解之得 2 (3 2 )2 2 2 或设 b 8 2 1 2 a b
x2 y2 1 ∴双曲线方程为 12 8
x2 y2 1, 2 2 m 20 m 求得m2 12(30舍去)
法二：设双曲线方程为(3 2)2 22 ∴ 16 k 4 k 1
x2 y2 1 16 k 0且4 k 0 16 k 4 k
, 解之得k=4,x2 y2 1 12 8
∴ 双曲线方程为
1、“共渐近线”的双曲线的应用x y 与 2
2 1共渐近线的双曲线系 a b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0, 为参数), a bλ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。2 2
