二项式定理： n ∈ Nn 0 n n
*
(a + b) = C a + C a b + C a b + + C a b + + C b(5) 展开式中的第 r + 1 项，r n-r r 即通项 Tr+1 =__________; n r (6) 二项式系数为 ______; nr n n-r r n n n
1 n
n-1
2 n
n-2
2
Ca bC
项的系数为: 二项式系数与数字系数的积
二项式定理
(a b) C a C a b C a b C bn 0 n n
1 n 1 n
(n N )这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， Cr (r=0,1,2,……,n)叫做 二项式系数 ， 其中 n叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 _____个项.
r n r r n
n n n
Ca b
r n
n r r
T
r 1
C nar
n r
b
r
x 3 9 ) 的展开式常数项及中间 例2(1)求 ( 3 x 两项；
变式：求(x-王新敞奎屯 新疆
1 x
)9的展开式中x3的系数。
分析：由展开式通项公式确定r求解
2 10 例3.求( x ) 的展开式中第四项的二 项式系数 x 和第四项的系数 .
分析：第 k+1 项的二项式系数 ---c 第 k+1 项的系数-具体数值的积。
k n
2 3 解： 因为T4 T3 1 ( 1) c ( x ) ( ) , x 3 所以第四项的二项式系 数是c10 120.3 3 10 7
第四项的系数是- c 8 960.3 10
1 8 ) 的展开式中 例4(04全国卷) ( x x 系数为__________
x
5
的
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1 C x ( x ) r r 8 r 2 ( 1) C8 x x 3 r r 8 2 r ( 1) C8 x
r 8 r 8 r
1 r 2
3r 由8 5可得r 2 25
x
的系数为 ( 1) C 282 2 8
练习：
1 4 1、(1)求 (2 x ) 的二项展开式的 x 常数项. 2 7(2)求 3 式 项的系数
x
(x 1)(x 2)
的二项展开
(3)求
1 7 (x ) x
的展开式中x 项的系数
3
例5.求 x (1 x) x (1 2x) x (1 3x) 展开式中 4 x 的系数。 x 4 的系数 解:可逐项求得 r r 4 (1 x) 的展开式通项为 C4 ( x) 当r 3 时 系数为-4 8 (1 2 x) 的展开式通项为C8s (2x)s 当s 2 时 2 系数为 4C8 112 12 t (1 3x) 的展开式通项为 C12 (3x)t 当 t 1时 1 系数为 3C12 364 2 8 3 12
所以 x(1 x) x (1 2x) x (1 3x) 展开式中的 4 项系数为 4 112 36 144 x4 2 8 3 12
例 6 ( x 3x 2) 的展开式中x 的系数是 240 ___________2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)r 5 2
5 r
r
要使x的指数为 , 只需r 1 1T2 C ( x 2) 3x1 5 2 4
15x( x 4 2x 6 4x 4 8x 2 )8 6 4 2 4
所以x的系数为 2 240 154
例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项, 合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘 积二项式.
题型2 利用通项求符合要求的项或项的系数
例6:求
x 3 x
展开式中的有理项r 91 2
9
解:
Tr 1 C ( x ) ( x ) ( 1) C xrr r 9
9 r
1 3
27 r 6
27 r 3 r 令 Z即4 Z (r 0,1 9) 6 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 ( 1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 ( 1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
题型10 整除或余数问题 92 例7 求91 除以 的余数。 100 92 92 解:91 (100 9)92 1 92 91
100 C 100 9 C 100 9 2 92 90 2
C 100 9 991 92 91
92
前面各项均能被100整除.只有 992 不能被100整除 92 92 92 1 91 2 90 9 (10 1) 10 C9210 C9210 90 91 C92 10 2 C92 10 ( 1)92 92 1 91 2 90 90 2 10 C9210 C9210 C92 10 920 1
10 C 10 C 10 C 10 1000 81 92 注 余数为 可见91 被100 除的余数是 81 意 正整数92 1 92 91 2 92 90 90 92 2
Thank you!
