大一下高等数学期末考试复习框架。。
高数复习框架
（1）：不定积分的几个公式（第一册书上都有）【这个是以后学习的基础】
（2）：极限定义的理解【这个是学习级数的基础】
（3）：偏导数的求法（一阶、二阶、不确定函数的偏导数、隐函数的求法）
全微分：dz
z z u u udx dy du dx dy dz x y x y z
全微分的近似计算： z dz fx(x,y) x fy(x,y) y多元复合函数的求导法：
dz z u z v
z f[u(t),v(t)]
dt u t v t
z z u z v
z f[u(x,y),v(x,y)]
x u x v x
当u u(x,y)，v v(x,y)时，du
u u v v
dx dy dv dx dy x y x y
隐函数的求导公式：
FxFFdydyd2y
隐函数F(x,y) 0 2 ( x)＋( x)
dxFy xFy yFydxdxFyFx z z
隐函数F(x,y,z) 0
xFz yFz
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F
F(x,y,u,v) 0 (F,G) u
隐函数方程组： J GG(x,y,u,v) 0 (u,v)
u
u1 (F,G) v1 (F,G) xJ (x,v) xJ (u,x) u1 (F,G) v1 (F,G) yJ (y,v) yJ (u,y)
F
v Fu GGu v
FvGv
（4）：方向导数与梯度、微分法在几何上的应用（空间曲线的切线方程、法线方程、切平面方程、切向量、多元函数的极值及其求法 ）；
f f f
函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l cos sin
l x y其中 为x轴到方向l的转角。
f f i j x y
f
它与方向导数的关系是 gradf(x,y) e，其中e cos i sin j，为l方向上的
l
单位向量。 f
是gradf(x,y)在l上的投影。 l函数z f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)
x (t)
x xy y0z z0
空间曲线 y (t)在点M(x0,y0,z0)0
(t) (t) (t0)00 z (t)
在点M处的法平面方程： (t0)(x x0) (t0)(y y0) (t0)(z z0) 0 FyFzFzFxFx F(x,y,z) 0若空间曲线方程为：,则切向量T {,,
GGGxGx yzGz G(x,y,z) 0
曲面F(x,y,z) 0上一点M(x0,y0,z0)，则：
1、过此点的法向量：n {Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x x0y y0z z03
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
Fy
Gy
2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0) Fy(x0,y0,z0)(y y0) Fz(x0,y0,z0)(z z0) 0
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多元函数的极值及其求法：
设fx(x0,y0) fy(x0,y0) 0，令：fxx(x0,y0) A, fxy(x0,y0) B, fyy(x0,y0) C A 0,(x0,y0)为极大值2AC B 0时，
A 0,(x0,y0)为极小值 2
则：值 AC B 0时， 无极 AC B2 0时, 不确定
（5）：重积分及其应用（二重积分【几何意义——体积、一般题型是：x.y的变量转化】、三重积分【几何意义——质量、】）【首先二、三重积分的求法必须会、三重积分与二重积分之间的关系】
f(x,y)dxdy f(rcos ,rsin )rdrd
D
D
曲面z f(x,y)的面积A
D
z z
y dxdy x
2
2
M
x
M
x (x,y)d
D
(x,y)d
D
D
,
MyM
y (x,y)d
D
(x,y)d
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix y2 (x,y)d , 对于y轴Iy x2 (x,y)d 平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F {Fx,Fy,Fz}，其中：Fx f
D
(x,y)xd
(x2 y2 a2)2
Fy f 3
D
(x,y)yd
(x2 y2 a2)2
Fz fa 3
D
(x,y)xd
(x2 y2 a)
3
22
（6）: 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：
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x rcos
柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz, y rsin , z z
其中：F(r, ,z) f(rcos ,rsin ,z)
x rsin cos 2
球面坐标： y rsin sin ， dv rd rsin d dr rsin drd d
z rcos
2
r( , )
f(x,y,z)dxdydz F(r, , )r
2
sin drd d d d
F(r, , )r
2
sin dr
重心：
1M
x dv,
1M
y dv,
1M
z dv， 其中M dv
转动惯量：Ix (y2 z2) dv， Iy (x2 z2) dv， Iz (x2 y2) dv
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
x (t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：, ( t ),则：
y (t)
L
x t
f(x,y)ds f[ (t), (t 2(t) 2(t)dt ( ) 特殊情况：
y (t)
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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x (t)设L的参数方程为，则：
y (t)
P(x,y)dx Q(x,y)dy {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
L
两类曲线积分之间的关系： Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds，其中 和 分别为
L
L
L上积分起止点处切向量的方向角。 Q P Q P
格林公式：( )dxdy Pdx Qdy格林公式：( )dxdy Pdx Qdy x y x yDLDL Q P1当P y,Q x 2时，得到D的面积：A dxdy xdy ydx
x y2L
D·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；
2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积： Q P
在＝时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中： x y
(x,y)
Q P
＝。注意奇点，如(0,0)，应 x y
u(x,y)
(x0,y0)
P(x,y)dx Q(x,y)dy，通常设x
y0 0。
（8）：曲面积分：
22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds f[x,y,z(x,y z(x,y) z(x,y)dxdyxy
Dxy
对坐标的曲面积分：，其中： P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy
号； R(x,y,z)dxdy R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正
Dxy
号； P(x,y,z)dydz P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正
Dyz
号。 Q(x,y,z)dzdx Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正
Dzx
两类曲面积分之间的关系： Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds
（9）：高斯公式：
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(
P Q R )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds x y z
高斯公式的物理意义——通量与散度：
P Q R
散度：p ,即：单位体积内所产生的流体质量，若p 0,则为消失
x y z
通量： A nds Ands (Pcos Qcos Rcos )ds， 因此，高斯公式又可写成： pAdv Ands
（10）：斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
(
R Q P R Q P
)dydz ( )dzdx ( )dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x y
cos
yQ
cos zR
dydzdzdxcos
上式左端又可写成： x y z x
PQRP
R Q P R Q P
空间曲线积分与路径无
y z z x x yijk
旋度：rotA
x y zPQR
向量场A沿有向闭曲线 Pdx Qdy Rdz A tds
（11）：常数项级数：
1 qn等比数列：1 q q q
1 q(n 1)n
等差数列：1 2 3 n
2
111
调和级数：1 是发散的
23n
2
n 1
（12）：级数审敛法：
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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）： 1时，级数收敛
设： limn，则 1时，级数发散
n
1时，不确定 2、比值审敛法：
1时，级数收敛
U
设： limn 1，则 1时，级数发散
n Un 1时，不确定
3、定义法：
sn u1 u2 un;limsn存在，则收敛；否则发散。
n
交错级数u1 u2 u3 u4 (或 u1 u2 u3 ,un 0)的审敛法——莱布尼兹定理： un un 1如果交错级数满足s u1,其余项rnrn un 1。 limu 0，那么级数收敛且其和
n n
（13）：绝对收敛与条件收敛：
(1)u1 u2 un ，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1( 1)n
调和级数： n发散，而 n1
级数： n2收敛；
１时发散1
p级数： npp 1时收敛
（14）：幂级数：
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1
x 11 x1 x x2 x3 xn x 1时，发散
对于级数(3)a0 a1x a2x2 anxn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。
x R时不定
1
0时，R
求收敛半径的方法：设lim
an 1
，其中an，an 1是(3) 0时，R
n an
时，R 0
（15）：函数展开成幂级数：
f (x0)f(n)(x0)2
函数展开成泰勒级数：f(x) f(x0)(x x0) (x x0) (x x0)n
2!n!
f(n 1)( )
余项：Rn (x x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0
n (n 1)!f (0)2f(n)(0)n
x0 0时即为麦克劳林公式：f(x) f(0) f (0)x x x
2!n!
（16）：一些函数展开成幂级数：
m(m 1)2m(m 1) (m n 1)n
x x ( 1 x 1)2!n!
x3x5x2n 1n 1
sinx x ( 1) ( x )
3!5!(2n 1)! (1 x)m 1 mx
（17）：欧拉公式：
eix e ix
cosx 2ix
e cosx isinx 或 ix ix
sinx e e 2
（18）：微分方程的相关概念：
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一阶微分方程：y f(x,y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy f(x)dx的形式，解法：
g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C称为隐式通解。
dyy
f(x,y) (x,y)，即写成的函数，解法：dxx
ydydududxduy设u ，则 u x，u (u)， 代替u，
xdxdxdxx (u) ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。
（19）：一阶线性微分方程：
dy
1 P(x)y Q(x)
dx
P(x)dx
当Q(x) 0时,为齐次方程，y Ce
当Q(x) 0时，为非齐次方程，y ( Q(x)e dy
2 P(x)y Q(x)yn，(n 0,1)
dx
P(x)dx
P(x)dx
dx C)e
（20）：全微分方程：
如果P(x,y)dx Q(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：
u u
du(x,y) P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 P(x,y) Q(x,y)
x y u(x,y) C应该是该全微分方程的通解。
（21）：二阶微分方程：
f(x) 0时为齐次d2ydy
P(x) Q(x)y f(x)dxdx2f(x) 0时为非齐次
（22）：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y py qy 0，其中p,q为常数；求解步骤：
1、写出特征方程：( )r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y ,y的系数；2、求出( )式的两个根r1,r2
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
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（23）：二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f(x)，p,q为常数f(x) e xPm(x)型， 为常数；f(x) e x[Pl(x)cos x Pn(x)sin x]型
