定积分的应用
7.4 平面曲线的弧长直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形
定积分的应用
一、直角坐标情形设曲线弧为 y = f ( x ), (a ≤ x ≤ b), 其中f ( x )在[a , b]上
y ds N
B
弧长。 有连续导数 , 求AB弧长。取积分变量为 x ,在[a , b]
A O a
M
dy = f '(x)dx
上任取小区间 [ x , x + dx ]
x x + dx
b
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线长度 (dx)2 + (dy)2 = 1 + y′2 dx
弧长微元 ds = 1 + y′ 2 dx 弧 长
s = ∫ 1 + y′2 dx.a
b
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2 3 例 1 计算曲线 y = x 2 上相应于 x 从a 到 b ( 0 < a < b ) 3的一段弧的长度. 的一段弧的长度.
解 Q y′ = x ,1 2
∴ds = 1 + ( x )2 dx = 1 + xdx, 1+1 2
所求弧长为
a
b
s = ∫a 1 + xdx2 = [(1 + b) (1 + a) ]. 33 2 3 2
b
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例 2 计算曲线 y = ∫ n sin θ dθ 的弧长 ( 0 ≤ x ≤ nπ ) .0
x n
x x 1 解 因为 y′ = n sin = sin , n n n
s = ∫a
b
1 + y′ 2 dx = ∫
nπ
令x = nt= n∫π
0
∫0
π
x 1 + sin dx n2
1 + sint ndt2
0
sin t + cos t + 2 sin t cos t dt 2 2 2 2
sin t + cos t dt = n∫ = 4n. 0 2 2 π
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二、参数方程情形若曲线弧由参 数方程给出 x = (t ) , (α ≤ t ≤ β ) y = ψ (t ) 上具有连续导数. 其中 ( t ), ψ ( t )在[α , β ]上具有连续导数.则 ds = (dx)2 + (dy)2 = [ ′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t )](dt )2
′2 (t ) + ψ ′2 (t )dt = 弧长
s=∫
β
α
′2 (t ) + ψ ′2 (t )dt.
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的全长. 例 3 求星形线 x + y = a (a > 0) 的全长.3 x = a cos t 解 星形线的参数方程为 (0 ≤ t ≤ 2π) 3 y = a sin t 根据对称性 第一象限部分的弧长 s = 4s1
2 3
2 3
2 3
= 4∫= 4∫
π
2 0
′ )2 + ( y′ )2 dt (x
π
2 0
( 3a cos
2
t sin t ) + (3a sin t cos t ) dt2 2 2
= 4 ∫02 3a sin t cos tdt = 6a.
π
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三、极坐标情形设曲线弧由极坐标方程为 r = r(θ ) (α ≤ θ ≤ β ) 上具有连续导数. 其中 r (θ ) 在[α , β ]上具有连续导数. x = r (θ ) cosθ (α ≤ θ ≤ β ) Q y = r (θ ) sinθ ′ ′ xθ = r ′(θ ) cos θ r (θ ) sin θ yθ = r ′(θ ) sin θ + r (θ ) cos θ ′ ′ xθ 2 + yθ 2 = r ′ 2 (θ ) + r 2 (θ )
,
,
(dx )2 + (dy )2弧长微元
dx 2 dy 2 2 ′ 2 + yθ 2 )(dθ )2 ′ = + (dθ ) = ( xθ d θ dθ
ds = (dx) + (dy)2β
2
= r 2 (θ ) + r′2 (θ )dθ ,
s = ∫α r 2 (θ ) + r′2 (θ )dθ . 弧长
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θ 的长. 例 4 求极坐标系下曲线 r = a sin 的长. 3 (0 ≤ θ ≤ 3π) π (a > 0)3
θ 1 θ ′ = 3a sin cos 解 Qr 3 3 3 2
θ = a sin cos , 3 3 2
θ
∴ s = ∫α r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ
β
=∫
3π
03π
a2 sin + a2 sin cos dθ 3 3 3 3 sin dθ = πa. 2 3
θ 2
6
θ
4
θ
2
= a∫
θ
0
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例 5 求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0) 上相应于
θ 从 0 到 2π 的弧长.解 Q r ′ = a,
∴ s = ∫α r 2 (θ ) + r′2 (θ )dθβ
=∫
2π
0
a θ + a dθ = a∫02 2 2
2π
θ 2 + 1dθ
a = 2π 1 + 4π 2 + ln(2π + 1 + 4π 2 ) . 2
[
]
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小结 求弧长的公式 参数方程情形下 极坐标系下求弧长的条件是曲线光滑， 注意 1. 求弧长的条件是曲线光滑，即一阶 导数连续才可求弧长. 导数连续才可求弧长. 2. 积分从小到大。 积分从小到大。 直角坐标系下
