九年义务教育北师大教材九年级下册数学
1.4 解直角三角形B c a A b
┌ C
复习引入(1)在直角三角形中，除直角外共有几个元素？ (2)如图，在Rt△ABC 中∠C=90°,a、b、 c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？A c
b
C
a
B
(3)直角三角形中元素间的三种关系：①两锐角关系 ： ②三边关系： ③边与角关系： ∠ A+ ∠ B= 90º
a2+b2=c2(勾股定理);A
c a tanA= b
sinA=
a
cosA=
b
c
b
c
C
a
B
新知学习完成以下习题： 在Rt△ABC中,∠C=90°: (1)已知a=4,c=8,求b, ∠A ,∠B
(2)已知c=20,∠A=60°,求 ∠B, a,b.(3)已知a=1,b= ,求c, ∠A, ∠B
学习归纳解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求
未知元素的过程.问题： 1、解直角三角形需要什么条件？直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素， 这个三角形的所有元素就可以确定下来。
2、解直角三角形的条件可分为哪几类？①、已知一锐角、一边(一锐角、一直角边或一斜边) ②、已知两边(一直角边，一斜边或者两条直角边)
例题解析例 1:在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 a= 15,b= 5,求这个 在三角形的其他元素。A
解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°, 则 c= a2+b2= 15+5=2 5 b 5 1 sinB= = = c 2 5 2 ∴∠B=30°, ∠A=60°
b
c
C
a
B
例 2:在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 b=30,∠B=25°,求这个 在三角形的其他元素。解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°,∠B=25°, ∴∠A=65° b b 30 ∵sinB= ,b=30∴c = = ≈71 c sinB sin25° b b 30 ∵tanB= ,b=30∴a = = ≈64 a tanB tan25°
随堂演练
1.在 Rt△ ABC 中，∠C=90° ,根据下列条件求出直 角三角形的其他几个元素 (1)a=19,c=19 2 (2)a=6 2, b=6 6
2.在 Rt△ ABC 中，∠C=90° ,根据下列条件求出直 角三角形的其他几个元素 (1)c=20,∠A=45° (2)a=36,∠B=30°
解：由题意知，AB=20mm,CD=19.2mm ∵AC=BC,CD⊥AB ∴AD=10mm ∵在 Rt△ ACD 中，∠ADC=90° AD 10 ∴tan∠ACD= = ≈0.5208 CD 19.2 ∴∠ACD≈27.5° ∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5° =55°. ∴V 型角的大小约 55° .
4.要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子 与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的 梯子，问： (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的 B 墙(精确到0.1m) (2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地 面所成的角a等于多少(精确到1°)?这时人 是否能够安全使用这个梯子？A
α
C
4、 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯 子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长 6m的梯子，问： (1)使用这个梯子最高可以
安全攀上多高的 B 墙(精确到0.1m) (2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地 面所成的角a等于多少(精确到1°)?这时人 是否能够安全使用这个梯子？ α解： (2)由题可知，当 AC=2.4m, AB=6m。 AC 2.4 ∵cosA= = =4 AB 6 ∴由计算器可得 α≈66° ∴梯子与地面所在的角大约是 66° 由 α 要满足 50°≤a≤75°可知， 这时梯子是安全的。A C
解决有关比萨斜塔倾斜的问题.设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A, 过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C(如图),在 Rt△ABC中，∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m解：如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90° BC 5.2 ∵sinA= = ≈0.0954 AB 54.5 ∴∠A≈5°28′
C B
A
小结回顾
1、通过这节课的学习你有什么收获？ 2、本节课你有什么疑惑？
温 1.数形结合有利于分析问题； 馨 2.选择关系式时，尽量应用原始数据，使计算更加精确； 提 示 3.解直角三角形时，应求出所有未知元素。
中考链接1.(2014 四川自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小 林站在距离雕塑 2.7 米的 A 处自 B 点看雕塑头顶 D 的仰角为 45° ,看雕塑底部 C 的仰角为 30° ,求塑像 CD 的高度. (最后结 果精确到 0.1 米，参考数据： 3≈1.7)解：由题可知，BE=2.7 米 在 Rt△DEB 中，∠DEB=90° ∴DE=BE tan45° =2.7 米， 在 Rt△CEB 中，∠CEB=90° ∴CE=BE tan30° =0.9 3米， 则 CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9 3≈1.2 米. 故塑像 CD 的高度大约为 1.2 米.
2.(2014 珠海)如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45° 方向、距 离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后， 到达位于小岛南偏东 60° 方向的 B 处. (1)求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离(结 果用根号表示) ;
A解： (1)过点 M 作 MD⊥AB 于点 D, ∵∠AME=45° ,∴∠AMD=∠MAD=45° , ∵AM=180 海里， ∴MD=AM cos45° =90 2(海里) , 答：渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离是 90 2海里。
D B
2.(2014 珠海)如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45° 方向、距 离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后， 到达位于小岛南偏东 60° 方向的 B 处. (2)若渔船以 20 海里/小时的速度从 B 沿 BM 方向行驶，求渔船 从 B 到达小岛 M 的航行时间(结果精确到 0.1 小时) . (参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45)
A
解： (2)在 Rt△DMB 中，∠ADM=90° ∵∠BMF=60° ,∴∠DMB=30° , MD ∵MD=90 2海里，∴MB= =60 6, cos30° ∴渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间为 60 6÷ 20=3 6=3× 2.45=7.35≈7.4(小时) , 答：渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间约为 7.4 小时.
D
B
