2010北大自主招生（三校联招）数学部分
1．（仅文科做）0 ，求证：sin tan ．
2．A、B为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB
2
3．A、B为y 1 x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值． 4．向量与已知夹角，|| 1,|| 2, (1 t)，
t,0 t 1．||在t0时取得最小值，问当0 t0 时，夹角的取值范围．
5．（仅理科做）是否存在0 x 数列．
，使得sinx,cosx,tanx,cotx的某种排列为等差2
15
2011年“北约”13校联考自主招生数学试题
2010年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题
一、选择题 1．设复数w (
a i2
)，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（ ） 1 i3113
（A） （B） （C） （D）
2222
2．设向量a,b，满足|a| |b| 1,a b m，则|a tb|(t R)的最小值为（ ） （A）2 （B
（C）1 （D
3. 无试题 4. 无试题
5．在 ABC中，三边长a,b,c，满足a c 3b，则tan（A）
AC
tan的值为（ ） 22
1112
（B） （C） （D） 5423
6．如图， ABC的两条高线AD,BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于
F，OH与AF相交于G，则 OFG与 GAH面积之比为（ ）
（A）1:4 （B）1:3 （C）2:5 （D）1:2
ax
7．设f(x) e(a 0)．过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y f(x)的交点为
Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，则 PQR的面积的最小值是（ ） ee2（A）1 （B
） （C） （D）
242
x2y2x2y2
8．设双曲线C1:2 k(a 2,k 0)，椭圆C2:2 1．若C2的短轴长与C1的
a4a4
实轴长的比值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为（ ） （A
） （B）2 （C
） （D）4
9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为（ ）
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
10．设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用 表示空间以直线OA为轴满足条件 (B) C的旋转，用 表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用 表示空间以l为轴的180°旋转．设 表示变换的复合，先作 ，再作 。则 可以表示为（ ）
（A） （B） （C） （D） 二、解答题
11．在 ABC中，已知2sin（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求 ABC面积的最大值．
12．设A、B、C、D为抛物线x2 4y上不同的四点，A,D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为d1,d
2，已知
2
A B
cos2C 1，外接圆半径R 2． 2
d1 d2 ．
（Ⅰ）判断 ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； （Ⅱ）若 ABC的面积为240，求点A的坐标及直线BC的方程．
13．
（Ⅰ）正四棱锥的体积V
，求正四棱锥的表面积的最小值； 3
（Ⅱ）一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值．
14．假定亲本总体中三种基因型式：AA,Aa,aa的比例为
u:2v:w(u 0,v 0,w 0,u 2v w 1)且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的
两个．
（Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；
（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．
15．设函数f(x)
x m1
，且存在函数s t at b(t ,a 0)，满足x 12
f(
2t 1s2 1
) ． ts
2s 12t 1
) ； st1
（Ⅱ）设x1 3,xn 1 f(xn),n 1,2, .证明：xn 2 n 1．
3
（Ⅰ）证明：存在函数t (s) cs d(s 0),满足f(
2011年华约试题
一、选择题
1．设复数z满足|z|<1且|
15
| 则|z| = ( ) z2
4321A B C D 5432
2．在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中
直线DM与AN所成角的余弦为( )
1111A B C D 36812
3．过点(-1, 1)的直线l与曲线y x3 x2 2x 1相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( )
A 2 B1 C 1 D 2
4．若A B
2
，则cos2A cos2B的最小值和最大值分别为
( ) 3
A1
3131 , B ,C1 D ,1
22222222
6．已知异面直线a，b成60°角。A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( )
A有且只有一个 B有且只有两个 C有且只有三个 D有且只有四个
), 7． 已知向
量a (0,1b
1 311
,，c ,(,),，xa) ,x cz(,111)且 ,则b y 122222
x2 y2
z2
的最小值为( )
B C D 2 A1
4
3
32
8．AB为过抛物线y = 4x焦点F的弦，O为坐标原点，且 OFA 135，C为抛物线准线与x轴的交点，则 ACB的正切值为
( )
2
A
CD
10． 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相
交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
二、解答题
（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。
（I）若b = 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
（13）已知函数f(x)
2x121
，f(1) 1，f() 。令x1 ，xn 1 f(xn)。 ax b232
(I)求数列{xn}的通项公式； (II)证明:x1x2 xn
1
。 2e
x2y2
（14）已知双曲线C:2 2 1(a 0,b 0),F1,F2分别为C的左右焦点。P为C右支
ab
上一点，且使 F1PF2=
3
,又 F1PF2的面积为2。
（I）求C的离心率e ；
(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得 QF2A QAF2恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。
（I）求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
