高二数学期中测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )
A ．a 2<ab <b 2
B ．b 2<ab <a 2
C ．a 2<b 2<ab
D ．ab <b 2<a 2
答案 B
2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是(
) A ．此数列不是等差数列，也不是等比数列
B ．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列
C ．此数列可能是等差数列，但不是等比数列
D ．此数列不是等差数列，但可能是等比数列
解析 记a 1＝3，a 2＝9，…，a n ＝2187，…
若该数列为等差数列，则公差d ＝9－3＝6，
a n ＝3＋(n －1)×6＝2187，∴n ＝365.
∴{a n }可为等差数列．
若{a n }为等比数列，则公比q ＝93＝3.
a n ＝3·3n －1＝2187＝37，∴n ＝7.
∴{a n }也可能为等比数列．
答案 B
3．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则角C 为(
) A ．钝角 B ．直角
C ．锐角
D ．60°
解析 由sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2.
即a 2＋b 2－c 2＝c 2>0，cos C >0.
答案 C
4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )
A ．63
B ．64
C ．127
D ．128
解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2.
∴S 7＝1－27
1－2
＝128－1＝127. 答案 C
5．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别为( )
A ．8a ，b 8
B ．64a ，b 64
C ．128a ，b 128
D ．256a ，b 256
答案 C
6．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )
A ．－8≤b ≤－5
B ．b ≤－8或b >－5
C ．－8≤b <－5
D ．b ≤－8或b ≥－5 解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ，
∴－8≤b <－5.
答案 C
7．已知实数m ，n 满足不等式组????? 2m ＋n ≤4，m －n ≤2，m ＋n ≤3，m ≥0，
则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n )x ＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( ) A ．7，－4
B ．8，－8
C ．4，－7
D ．6，－6
解析 两根之和z ＝3m ＋2n ，画出可行域，当m ＝1，n ＝2时，z max ＝7；当m ＝0，n ＝－2时，z min ＝－4.
答案 A
8．已知a ，b ，c 成等比数列，a ，x ，b 成等差数列，b ，y ，c 成
等差数列，则a x ＋c y 的值等于( )
C ．2
D ．1
解析 用特殊值法，令a ＝b ＝c .
答案 C
9．制作一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )
A ．
B ．
C ．5m
D ． 解析 设三角形两直角边长为a m ，b m ，则ab ＝2，周长C ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈(m)．
答案 C
10．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 2n ＋1＝b 2n ＋1, 则( )
A ．a n ＋1>b n ＋1
B ．a n ＋1≥b n ＋1
C ．a n ＋1<b n ＋1
D ．a n ＋1＝b n ＋1
解析 a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋12≥a 1a 2n ＋1＝b 1b 2n ＋1＝b n ＋1. 答案 B
11．下表给出一个“直角三角形数阵”：
14
12，14
34，38，316
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83等于( )
D ．1
解析 第1列为14，12＝24，34，…，所以第8行第1个数为84，又每
一行都成等比数列且公比为12，所以a 83＝84×12×12＝12.
答案 C
12．已知变量x ，y 满足约束条件????? y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，
则z ＝2x ＋y 的最大值为( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．－4
解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．
由图可知，当直线y ＋2x ＝0，经过点(1,0)时，z 有最大值，此时z ＝2×1＋0＝2.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上)
13.在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________．
解析 ∵B ＝45°，C ＝60°，∴A ＝180°－B －C ＝75°.
∴最短边为b .由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝1×sin45°sin60°＝63.
答案 63
14．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a 的取值范围是__________．
解析 ∵△ABC 为锐角三角形，
∴???
0<B ＝2A <π2，0<π－A －B <π2，
∴??? 0<A <π4，π6<A <π3.
∴A ∈(π6，π4)．
∴b a ＝sin B sin A ＝2cos A .
∴b a ∈(2，3)．
答案 (2，3) 15．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满足关系式a n ·b n ＝(－1)n (n ∈N *)，则b n ＝________. 解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，
∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2.
∴a n ＝3·2n －1.
又a n ·b n ＝(－1)n .
∴b n ＝(－1)n ·1a n ＝－1n 3·2n －1
. 答案 －1n
3·2n －1
16．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为________．
解析 由题意，得????? a <0，－1＋2＝－b a ，－1×2＝c a ，则????? b ＝－a ，c ＝－2a ，a <0.
所求不等式可化为x 2＋1－(x －1)＋(－2)<2x ，
解得0<x <3.
答案 {x |0＜x ＜3}
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U ＝R ，A ＝????
??x |－34x 2＋x ＋1>0，B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0}，求U (A ∩B )．
解 A ＝{x |3x 2
－4x －4<0}＝??????x |－23<x <2， B ＝????
??x |x <13，或x >1. A ∩B ＝????
??x |－23<x <13，或1<x <2， U (A ∩B )＝{x |x ≤－23，或13
≤x ≤1，或x ≥2}． 18．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且8sin 2
B ＋
C 2－2cos2A ＝7. (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．
解 (1)在△ABC 中，有B ＋C ＝π－A ，
由条件可得4[1－cos(B ＋C )]－4cos 2A ＋2＝7，
即(2cos A －1)2＝0，
∴cos A ＝12.
又0<A <π，∴A ＝π3.
(2)由cos A ＝12，得b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即(b ＋c )2－a 2＝3bc ，则32－(3)2
＝3bc ，即bc ＝2.
由????? b ＋c ＝3，bc ＝2，解得????? b ＝1，c ＝2，或?????
b ＝2，
c ＝1. 19．(12分)递增等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n ·log 12
a n ，求数列{
b n }的前n 项和．
解 (1)设等比数列的公比为q (q >1)，
则有?????
a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，a 1q ＋a 1q 3＝2a 1q 2＋2， 解得????? a 1＝2，q ＝2，或??? a 1＝32，q ＝12，(舍去)．
所以a n ＝2·2n －1＝2n .
(2)b n ＝a n ·log 12
a n ＝－n ·2n ，
S n ＝－(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )，
2S n ＝－(1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1)．
两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2
n ＋1＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1＝－(n －1)·2n ＋1－2.
20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A 种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B 种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A ，B 两种药至少各配一剂，
问A 、B 两种药最多能各配几剂
解 设A 、B 两种药分别能配x ，y 剂，x ，y ∈N *，则?????
x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤25，作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．
所以，在保证A ，B 两种药至少各配一剂的条件下，A 种药最多配4剂，B 种药最多配3剂．
21．(12分)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝
sin B sin B －sin A ，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C .
(1)试确定△ABC 的形状；
(2)求a ＋c b 的范围．
解 (1)由a ＋b a ＝sin B sin B －sin A
， 得a ＋b a ＝b b －a ，即b 2－a 2＝ab ， ①
又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ，
所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C .
sin A ·sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2. ②
由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2.所以△ABC 为直角三角形．
(2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋c b >1.
又a ＋c b ＝a 2＋c 2＋2ac b 2≤ 2a 2＋c 2b 2＝2b 2
b 2＝2，故a ＋
c b 的取
值范围为(1，2]．
22．(12分)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满
足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2
为数列{a n }中的项． 解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，(d ≠0)．
由a 22＋a 23＝a 24＋a 25，知2a 1＋5d ＝0.①
又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.②
由①②可得a 1＝－5，d ＝2.
所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋a n 2＝n 2－6n .
(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2
为数列{a n }中的项，故8a m ＋2
为整数，又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.
当m ＝1时，a m a m ＋1a m ＋2＝－5×－3－1＝－15.
显然它不是数列{a n }中的项．
当m ＝2时，a m ·a m ＋1a m ＋3
＝－3×－13＝1. 它是数列{a n }中的项．
因此，符合题意的正整数只有m ＝2.
