2.如果n维向量组?1,??2,?,?t?中的每一个都可以可以用?1,?2,?,?s线性表示,就说向量组?1,?2,?,?t可以用?1,?2,?,?s线性表示.?
????????向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示.
反过来,如果向量组?1,?2,?,?t可以用?1,?2,?,?s线性表示,则矩阵(?1,?2,?,?t)可分解为矩阵(?1,?2,?,?s)和一个矩阵C的乘积.
例如 ?1=?1+2?2，?2=2?2+3?3，?3=3?3+?1；,则
?1?(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3) ?2?0?0231??0? 3??一般地C可以这样构造: 它的第i个列向量就是?i对?1,?2,?,?s的分解系数.称C为?1,?2,?,?t对?1,?2,?,?s的一个表示矩阵. (C不是唯一的)
3.当向量组?1,?2,?,?s?和?1,?2,?,?t互相都可以表示时?就说它们等价?并记作??1,?2,?,?s?????1,?2,?,?t?.?
例如,如果矩阵A用一次初等行变换化为B,则A的行向量组和B的行向量组等价??如果矩阵A用一次初等列变换化为B,则A的列向量组和B的列向量组等价?? ?1,?2,?3??2,?1,??3； ?1,?2,?3??1,??2,??3； ?1,?2,?3??1,??2,6?1+?3；
向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组?1,?2,?,?t可以用?1,?2,?,?s线性表示,而?1,?2,?,?s?可以用?1,?2,?,?r线性表示,则?1,?2,?,?t可以用?1,?2,?,?r线性表示.
等价关系也有传递性. 二. 向量组的线性相关性
讨论向量组的内在关系的性质.
1． 意义和定义--从三个方面看线性相关性
（1） 意义:线性相关性是描述向量组内在关系的概念.
如果向量组?1,??2,?,?s?中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示,就说?1,??2,?,?s?线性相关.
如果向量组?1,??2,?,?s?中每个向量都不可以用其它的s-1个向量线性表示,就说?1,??2,?,?s?线性无关.
?1??0??0?????????0?，a2??1?，a3??0?
?0??0??1????????1??0??0?????????0?，a2??1?，a3??0??0??0??1????????1?????0? ?1???a1a1a4两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如?=(a1,a2,a3)和?=(b1,b2,b3)相关,不妨设?=c?,即b1=ca1, b2=ca12, b3=ca3.
（2）定义 设?1,?2,?,?s?是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,?,cs使得
c1?1+c2?2+?+cs?s=0,
则说?1,?2,?,?s?线性相关?否则就说它们线性无关.
说明:① 意义和定义是一致的.比如设cs不为0,则 ?s= -(c1?1+c2?2+?+cs-1?s—1)/cs.
② 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量. ③ ?1,?2,?,?s?线性无关即要使得c1?1+c2?2+?+cs?s=0,必须c1,c2,?,cs全为0.?(3)?1,?2,?,?s?“线性相关还是无关”就是向量方程x1?1+ x2?2+?+xs?s=0“有没有非零解”.
如果令A=(?1,?2,?,?s?), 则
??1,?2,?,?s?线性相关(无关)? 齐次方程组 AX=0有非零解(无非零解). 2. 性质
(1)若向量的个数s等于维数n,则??1,??2,?,?n线性相关?|??1,??2,?,?n|=0. 当向量的个数s大于维数n时,??1,??2,?,?s?一定线性相关.
用齐次方程组, 注意:n是AX=0的方程数, s是AX=0的未知数个数. s=n时用克莱姆法则.
s>n即方程数n少于是AX=0的未知数个数s,一定有非零解.
(2) 线性无关向量组的每个部分组都无关(于是每个向量都不是零向量).??1,??2,??3,??4,??5无关??1,??3,?? 5无关
逆否命题:如果向量组有线性相关的部分组,则它本身也线性相关.
(3) 如果?1,?2,?,?s?线性无关?则?
?1,?2,?,?s?,?线性相关????1,?2,?,?s?. (?1,?2,?,?s?,?线性无关????1,?2,?,?s?.) ? 明显.
? 设c1,c2,?,cs, c不全为0,使得
c1?1+c2?2+?+cs?s+c?=0,
则c不为0(否则?1,?2,?,?s?线性相关),因此???1,?2,?,?s?. 例 ?1=(1,2, a+3)，?2=( 2,1 ,a+6)，?3=(2,1,a+4)?线性无关． 例15??1,?2,?3,?线性无关,而?1,?2,?3,?线性相关,则 ?A) ?1,?2,?3,c?+?线性相关. (B) ?1,?2,?3,c?+?线性无关. (C) ?1,?2,?3,?+c?线性相关. (D????1,?2,?3,?+c?线性无关.
2008年的一个题中:已知??1,?2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量??3满足
A?3=??2+?3.
证明?1,?2,??3线性无关.
(看题解)
设c1?1?c2?2?c3?3?0（1）
A（1） 得?c1?1?c2?2?c3?2?c3?3?0 （2） （1）-（2）：2c1?1?c3?2?0 （3）
A（3） ?2c1?1?c3?2?0 （4） （3）-（4） 4c1?1?0，得 c1?0； 代人（3），-c3?2?0，得 c3?0，
代人（1），c2?2?0，得 c2?0 方法二：?1，?2线性无关，只用证 c3? 若 ?3??,?12
c?11?c?22，（1）
得?2??3??c1?1?c2?2（2）
（2）-（1）： ?2??2c1?1 与?1,?2线性无关矛盾。
2009年的一个题中:??1?0, A?1=0, A?2=?1, A2?2=?1, 证明?1,?2,??3线性无关. (看题解) 证明：A 是3阶矩阵，?1是3维非零列向量，使得A?2A?1?，又 ?2,?3满足
??1，A?23??1 ，证明?,?,?123线性无关。
证：方法一（用定义法） 设c1?1?c?2212?c?323?0 （1）
2A2(1):
cA?1?cA??2cA?323?0，即c3?1?0，得c3?0
（1）化为c1?1?c2?2?0 A（1）：c2?1?0，得c2?0 （1）化为
c?11?0，得c1?0
方法二：?1?0，?1无关
?2??1（否则 ?2?c?1，A?2?cA?1??1）
所以 ?1,?2线性无关 又
?3??1,?2（否则?3?1c1?1?c?22，A2?3?0??1)
(4) 如果???1,?2,?,?s?,则???1,?2,?,?s?线性无关.
? ???1,?2,?,?s?线性相关.
(5) 如果?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?，并且t>s,则?1,?2,?,?t线性相关.
逆否命题: 如果?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s??并且?1,?2,?,?t线性无关. 则t?s, 推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等. 三.向量组的极大无关组和秩
向量组的内在性质的定量的讨论. 向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.
?1??2??0?????????0?，a2??0?，a3??0??0??0??0????????1??0??0?????????0?，a2??1?，a3??0??0??0??0????????3?????0? ?0????1?????1? ?0???a1a4a1a41. 定义与简单性质
定义 设?1,?2,?,?s?是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果
① (I)?线性无关.
② (I)?再扩大就线性相关.
就称(I)为?1,?2,?,?s?的一个极大无关组.称(I)?中所包含向量的个数为?1,?2,?,?s?的秩。记作r(?1,?2,?,?s).
说明i)??1,?2,?,?s?的不同的极大无关组包含向量的个数会不会不同？
任何?I都可用极大无关组(I)?线性表示,从而(I)?与?1,?2,?,?s?等价. 于是任意两个极大无关组?等价，因此包含向量的个数相同。
说明ii) 如果?1,?2,?,?s?全是零向量,则规定r(?1,?2,?,?s)=0. 如果r(?1,?2,?,?s)=3,则
i)???1,?2,?,?s?有包含3个向量的无关部分组。
ii)? 一个部分组如果含有多于3个向量,则它一定的相关.
iii） ?1,?2,?,?s?的每个含有3个向量的线性无关部分组一定是极大无关组. 0?r(?1,?2,?,?s)? Min{s。n} 2. 应用
① ?1,?2,?,?s?线性无关? r(?1,?2,?,?s)=s.?
②??可用?1,?2,?,?s?线性表示?r(?1,?2,?,?s,?)=r(?1,?2,?,?s).
命
题
：
r(?1,?2,
?
,?s,?)=
??s表示??r(?1,?2,?,?s) 若?可以用?1，?2， ???s表示??2，?r(a1,?2,?,?s)?1若?不可以用?1，证明思路:看?1,?2,?,?s?的一个极大无关组(I)是否也是?1,?2,?,?s?,?的极大无关组?????1,?2,?,?s????(I)? (I),???线性相关?(I)也是?1,?2,?,?s?,?的极大无关组，
则r(?1,?2,?,?s,?)=r(?1,?2,?,?s).?
???1,?2,?,?s?????(I)? (I),???线性无关?(I),???是?1,?2,?,?s?,?的极大无关组??则r(?1,?2,?,?s,?)=r(?1,?2,?,?s)+1.
例14已知?可用?1,?2,…,?s 线性表示，但不可用?1,?2,…,?s-1线性表示．证明 ⑴ ?s不可用?1,?2,…,?s-1线性表示； ⑵ ?s可用?1,?2,…,?s-1,?线性表示．
⑴? r(?1,?2,?,?s-1,?s,?)=r(?1,?2,?,?s-1,?s).
⑵? r(?1,?2,?,?s-1,?)=r(?1,?2,?,?s-1)+1.
③?可用?1,?2,?,?s?唯一线性表示?r(?1,?2,?,?s,?)=r(?1,?2,?,?s)=s. ④ ?1,?2,?,?t可以用?1,?2,?,?s?线性表示???
r(?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?t)=r(?1,?2,?,?s).
推论:?如果 ?1,?2,?,?t可以用?1,?2,?,?s线性表示,则 r(?1,?2,?,?t)?r(?1,??2,? ,?s?). ⑤ ??1,?2,?,?s和?1,?2,?,?t等价??
r(?1,?2,?,?s)= r(?1,?2,?,?s,??1,?2,?,?t)= r(?1,?2,?,?t).
r(?1,?2,?,?s)的计算:
用初等行变换把矩阵(?1,?2,?,?s)化为阶梯形矩阵,其非零行数= r(?1,?2,?,?s). 例11中的向量组的秩: ?1???1?2??4?0312307141?2202??1??1??0???05???10???0031033101?10?42??1??3??0???10???0???0030033001?1102??3? ?0?0??
r(?1,?2,??3,?4,?5)=3.
例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且a?1,求a. (05) ?2??1?1??1?21aa321a4??1??3??0??02?????01??1210a?102?1?1a?13??1???2??0??0?1?????0?1??1a?100???1?1?
?1?2??01?2a??23秩<4 得 1-2a=0 a=
例3 设?1=(1+a,1,1)，?2=(1,1+b,1)，?3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时
r(?1,?2,?3)=2?
TT(?1,?2,??1?a?T)??13?1?11?b110?a1??1??1???0?01?b???1a01b?a1??a? 0????b??B ab?b?a??1?b?1?1) 若 b=0 Ｂ＝?0?0?1??1??0???0?0?a??? b?0,a?0时秩＝２
