如果有 H,使得 AH?E,BA?CA?B?C 定义 设矩阵.
此时H是唯一的,称为如果
A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵H,使得AH?E,HA?E则称A为可逆
A的逆矩阵,通常记作A.
?1A 可逆,则A在乘法中有消去律: AB?0?B?0;AB?AC?B?C(左消去律)；.BA?0?B?0;
BA?CA?B?C(右消去律)
如果
A 可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):
?1?1AB?C?B?AC . BA?C?B?CA.
由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法: (I)
?1?1AX?B的解 X?AB . (II) XA?B的解X?BA.
这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算). (2) 矩阵可逆性的判别,逆矩阵的计算 定理 n 阶矩阵
A 可逆 ?A?0.
?1证明 “?”对 AA且
?E两边取行列式,得
AA?1?1|,从而
A?0. (并
A?1?A?1) A
?1“?”定义中的 H 是矩阵方程 AX因为
?E和 XA?E 的公共解.
A?0,矩阵方程 AX?E和 XA?E都有唯一解.设
B,C分别是它们的解,即AB?E,CA?E. 于是: B?EB?CAB?CE?C,
从定义得到
A可逆. H是唯一的,因为它是AX?E解.
计算
A的初等变换法: 解矩阵方程 AX?E ,
?1?1(AE)?(EA).
应用: 对角矩阵可逆 ?对角线上元素都不为0.其逆矩阵也是对角矩阵,只用把每个对角
线元素变为倒数.
???10???0???0?01?????10100c1001001c20?0???0??1?c3???c1??0?0?0c200100c30010
?1初等矩阵都是可逆矩阵,并且
E(i,j)?1?E(i,j)， E(i(c))?0??0??1??0?0100100001000010?1?E(i(c)), E(i,j(c))00100??1??0??0??0?0???01???01000010?1?E(i,j(?c))
010010000??0?0??1??
010000000110?E(1,3)E??E(1,4(2))?1??0E???0??0?0100001021000010010000100??1??0??0???00???01???010000100100001001000010?2??0?0??1??推论 如果 即只要 矩阵.
A和 B都是 n阶矩阵,则 AB?E?BA?E.
AB?E (或 BA?E)中的一个式子成立,则 A和B 都可逆并且互为逆
2008年的考题: A?0,时 E?A可逆.
3(E?A)(E?A?A)?E?A?E.
例 4个n阶矩阵 A,B,C和D满足ABCD?E,求A和B?1?123.
ABCD?E?A例31设
?1?BCD,于是BCDA?E?B?1?CDA
A,B,C都是n阶矩阵,满足B?E?AB,C?A?CA,则 B?C为 (A)
E.(B) ?E. (C)A. (D)?A. (A) (2005年数学四)
B?E?AB化为(E?A)B?E 即 B 与 (E?A) 互为逆矩阵
C?A?CA 化为 C(E?A)?A, 用 B 右乘得 C?AB
如果
A和B是两个n可逆阶矩,则分块矩阵
??AO?A?? ?OB????O?? 和 ?BO???都可逆，并且 ??1?1?AO?A??1?1?????AO??O?OB???B?1?????
?BO??B??O???O???A?1O???
(3)可逆矩阵的性质: ① 如果
A 可逆,则A?T,
cA(c?0)和 Ak 都可逆,并且
(AT)?1?(A?1)T,(cA)?1?c?1A1,(AK)?1?(A?1)?(A?1)K
已经规定的矩阵的右肩膀有3种:T,k,-1,它们两两可交换先后次序. ② 对于两个 n 阶矩
A 和 B ,
A?1?1?1和B都可逆 ?AB 可逆,并且 (AB)?BA. AB?AB.
3.伴随矩阵 若
A 是 n 阶矩阵,记 Aij 是A 的(i,j) 位元素 aij 的代数
余子式,规定
A的伴随矩阵为
??A11A21?An1?A*??A12A22?A?n2?????????(ATij)?
??A1nA2n?A?nn?
lr 例如对2阶矩阵
*?*?ab???b???ab?*???b??cd??d??????ca??,?????
??cd??????a????cd???
AA*?A*基本公式: .
A?AE.
??a11a12?a1n?A21?An1??A0AA*??a21a22?a???A112n??A12A22?A??n2??0A??????????????????a???n1an2?a?nn??A1nAA???2n?nn??0?于是对于可逆矩阵
A ,有
A?1?A*A,*?1
(A)?AA.
?0?0?????0A??
因此可通过求A来计算A*_1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.
和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.
?a???cb???d??1?d?????c?b???(ad?bc)a?
A
?1?A*AA?1即
A?AA*?1
意义:用逆矩阵来求伴随矩阵.
A 可逆时还有
?1*?1(A)?1*?1?AA
*?1(A)?A(A)?AA?(A)伴随矩阵的其它性质: ① 如果
*. A 是可逆矩阵，则 A 也可逆，并且
n?1*(A)*?1?AA?(A)?1.
②
A?AT*
*T(A)?(A) ③
(cA)?c④
**n?1A
*k**k*(AB)?BA;(A)?(A) ⑤
⑥ ②
*(A)?A*n?1?*n?2A
A?A*的证明:对
n*AA?AEn?1*两边求行列式,得
⑥
AA?A?A?A
(A)?A?????n?2A的证明:
n?1(A)?AA??1?AAA?An?2A
例21 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的(1) 证明B可逆. (1)
i,j行得到B.
B?A?0
(2) 求
AB.
?1B?E(i,j)A
B?1?A?1?E(i,j)??1?AE(i,j) AB?1?1?E(i,j)
例22 设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得 C .记
??1?P??0?0?
?11100??0?1??
?1(A)C?PAP (B)C?PAP?1?B??0?0??1?C?B?0?0??1?C??0?0?1101100??0?A1?? ?1100??0?1??
?110(C)C?PAP (D)?PAP
TT0??1??0?A?0?01???0??0??PAP1???1
例20 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则 (A) 交换A?的1,2行得到B(C) 交换A?的1,2行得到?(D) 交换A?的1,2列得到?(2005年)
?. (B) 交换A?的1,2列得到B?. B?. B?.
?0?B??1?0?1000??0?A1??
