所求为
M41?M42?M43?M44??A41?A42?A43?A44
原式=
5A41?3A42?2A43?2A443202?71420?102将原行列式换为
0?10即他的值就是原题的余子式之和 1)
答案为-28（对第三行展开
?7A32?7M3240551??7001???????a23.命题 第三类初等变换不改变行列式的值.
?3?2440561?72aa2901812aa29?18????2aa247000?12a?27
012a??? 08题
A?0?00??? . 证明|A|=(n+1)an.
0分析：
证明：初等变换
2a0?0?002a00?0013a22a???13a20???002a???004a3???001???000???????a2????2aa2000?12a000?1(n?1)an?2a00?0013a20???004a3???000???????a2????2aa2000?12a?0????000?????0??2a?3a2?4a3?(n?1)an?(n?1)an
4. 化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式. 三.其它性质
行列式还有以下性质:
T3．把行列式转置值不变,即
A?A .
4．作第一类初等变换, 行列式的值变号. 5．作第二类初等变换, 行列式的值乘c.
问题：
cA??
cA；
cA；
cnA；
cnA
6．对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量，则原行列式等于两个行列式之和,这两个
行列式分别是把原行列式的该行(列)向量
?换为
?或
?所得到的行列式.
例如
?,?1??2,???,?1,???,?2,?
问题：
A?B?A?B? 例如：
A??1?2?3,B??1?2?3
A?B??1??1?2??2?3??3??1?2??2?3??3??1?2??2?3??3??1?2?3??3??1?2?3??3??1?2??2????A?B??(另外的6个）例
设
4
阶
矩
阵
A?(?,?1,?2,?3),B?(?,?1,?2,?3),A?2,B?3,求A?BA?B?(???,2?1,2?2,2?3),解：
A?B????,2?1,2?2,2?3?8???,?1,?2,?3
?8?,?1,?2,?3?8?,?1,?2,?3?407.如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.
?
8.某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.
ax例 已知行列式
b?1?zx?1c?yx?30dz?1yz?3 的代数余子式
1y?2A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.
??9x?3?y?3(z?1)?0?x???????????y??
解析：思路：利用性质8
??????z????拉普拉斯公式的一个特殊情形：
A如果A与B都是方阵(不必同阶),则
*B0?A*0B?AB
1a1范德蒙行列式：形如
21a2a2a221a3a3a32?????1ananan2a1a1?n?i?n?i?n?i?n?i的行列式(或其转置).它
(aj?ai)?a,a,a,?,a由123n所决定,它的值等于
i?j
因此范德蒙行列式不等于
0?a1,a2,a3,?,an两两不同. 对于元素有规
律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算.
四.克莱姆法则
克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A为n阶矩阵)时.
A?0?方程组有唯一解.
T此解为 (D1/A,D2/A,?DN/A),Di换成常数列向量
是把
A的第i个列向量
?所得到的行列式.
1.
A?0是方程组有唯一解的充分必要条件.
(A?)?(B?)
问题:
A?B?
A?0?B?0
于是只用说明
B?0是方程组有唯一解的充分必要条件.
(A?)作初等行变换,使得
A变为单位矩
2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵
阵:
(A?)?(E?)；?就是解.
用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是
A?0.
?x1?x2?x3?a?b?c?222ax?bx?cx?a?b?c?123例 设有方程组 ?bcx?acx?abx?3abc123?(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.
(2)在此情况求解. 分析：
1abc1a证明：（1）
1bac1b?a1cabaa?b?c2?b2?c2??????阶梯形矩阵转换3abc1c?aab?bc1c?ab2a?b?cb2?c2?ab?ac22?
0100ac?bc1b?a02abc?bc?bc2a?b?c?c?ab?ac(c?a)(c?b)c(c?a)(c?b)
由克莱姆法则法则可知
A?0?(b?a)(c?a)(c?b)?0
故a,b,c两两不相等
101b?a1c?aa?b?cb2?c2?ab?ac?00(c?a)(c?b)c(c?a)(c?b)110a?b100a（2）
0b?a0b2?ab?010b001c001c解为x?(a,b,c)T五. 典型例题 例1
2aaaaa2aaa1?x111aa2aa11?x11①
aaa2a ②
111?x1aaaa21111?x1?a11122?a22333?a3
4444?a④ 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n阶行列式. ②分析：
③
