AB?B?3A AB?AB?3AEA得
3?
?A??8
A?2
?(2E?A)B?6E B?6(2E?A)
例14
??1?3?A??2?2?已知,
0110??1??0?B??0?03???,
0000??0??1??XA?2B?AB?2X,求X11.解：
XA?2B?AB?2X
X(A?2E)?(A?2E)B
?1X?(A?2E)B(A?2E)X11
?1?1?1?(A?2E)B(A?2E)(A?2E)(A?2E)?(A?2E)(A?2E)
11?1?(A?2E)B(A?2E) ?(A?2E)B(A?2E)用解矩阵方程
?1?X
求X
TX(A?2E)?(A?2E)B?(A?2E)?1???0?0?2?10T?(A?2E)B?211010200T???AT?2EB(A?2E)?010010010200
2??1??0???0?0?1???6???1??1??
?1?X??2?6?
00?10??0??1??
例26 设3阶矩阵A,B满足AB(1) 证明
?A?B.
A?E可逆.
?3100??0?2??,求A. (91)
?1?B??2?0?(2) 设
解：AB?A?B
(A?E)B?A
令C?A?E 即A?C?E
(C?E)B?C?E?B
CB?C?EC(B?E)?E?C可逆
?1例27 设A,B是3阶矩阵,A可逆,它们满足2AB?B?4E.
(1) 证明A?2E可逆.
?2200??0?2?? ,求A.
?1?B??1?0?(2) 设
?1 (2002)
A可逆解：2AB?B?4E即2B?AB?4A AB?4A?2B
(A?2E)B?4A由
A可逆得A?2E可逆
A,B满足AB?aA?bB.其中ab?0,证明
例28 设n阶矩阵
(1)A?bE和B?aE都可逆. (2) A可逆?B可逆.
(3)
AB?BA
解：(1)令C?A?bE,D?B?aE
A?C?bE,B?D?aE
(C?bE)(D?aE)?aC?abE?bD?abE
CD?aC?bD?abE?aC?bD?2abE CD?abE?C,D都可逆
或者直接把A?bE和B?aE相乘
AB?aA?bB?abE
(2)(3)
(A?bE)B?aA
(A?bE)(B?aE)?abE
(A?bE)ab(B?aE)(B?aE)?E
(A?bE)ab?E
(B?aE)(A?bE)?abEBA?aA?bB?O BA?aA?bB?AB
A,B都是n阶对称矩阵,E?AB可逆,证明(E?AB)A也是对称矩阵.
例29 设
证：验证
?1[(E?AB)A]?(E?AB)A [(E?AB)A]?A[(E?AB)] ?A[(E?AB)]T?1?1T?1?1TT?1T?A(E?BA)?1?1TT?1?A(E?BA)
?1?1A(E?BA)即要证明
?(E?AB)A?A?(E?AB)A(E?BA)
?(E?AB)A?A(E?BA)
例30 设A,B都是n阶矩阵使得A?B可逆,证明
?1?1B(A?B)A?A(A?B)B.
(1) 如果AB?BA,则
B(A?B)A?A(A?B)B.
(2) 如果A,B都可逆,则
B(A?B)A?A(A?B)B总成立.
(3) 等式
A,B,(A?B)的不同顺序的，且有证明
(1)思路：两侧是
AB?BA?A(A?B)?A?AB?A?BA?(A?B)A?(A?B)A?A(A?B) (A?B)B?B(A?B)
(2) 两边求逆
?1?1?1?122?1?1?1?1?1
?A(A?B)B左边求逆
?B(A?B)A右边求逆
?1?1?1?AAB?BAA?1?1?1?ABB?BBA?1?1?1?B?B?1?A ?A
?1?1?1?1?1?1例32 设A,B都是n阶矩阵,并且A是可逆矩阵.证明:矩阵方程AX的解相同?AB?BA.
?B和XA?BAX?B的解为AB
?1XA?B的解为BA
同解即AB?BA
?1?1?1?AB?BA
第四讲 向量组的线性关系与秩
全课程的理论基础
线性表示?线性相关性?极大无关组和秩?矩阵的秩 一. 线性表示
设?1,?2,?,?s是一个n维向量组.
1. n维向量?可用?1,?2,?,?s线性表示，即?是?1,?2,?,?s的一个线性组合，也就是说存在数组c1,c2,?,cs使得
c1?1+c2?2+?+cs?s=??.
?a??1??0??0?????????例如???b?，a1??0?，a2??1?，a3??0?.则??=a?1+b??2+c?3.
?0??c??0??1??????????a??1???????又如???b?，a1??0?，
?c??0??????0?????1?，?0???a2a3?1?????1?.看c,c?0,则不能表示, c=0, 则?0?????=a?1+b?2, 或?=(a-b)?1+b?3, ??
问题是:判断?可否用?1,?2,?,?s线性表示? 表示方式是否唯一？”这也就是问：向量方程
x1?1+?x2?2+?+xs?s=?
是否有解？解是否唯一？设A=??1,??2,?,?s?,则此向量方程就是AX=?.
反过来,判别“以?A???为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“?是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.
记号: 可以表示? 不可以表示?
1 唯一表示?
?无穷多表示?
例 下列各选项中哪个成立,哪个不成立?
(A) 如果???1,?2,?,?s,则对任意数c, c???1,?2,?,?s. (B) 如果存在c,使得 c???1,?2,?,?s,则???1,?2,?,?s.
(C) 如果???1,?2,?,?s,????1,?2,?,?s,则?+???1,?2,?,?s. (D) 如果???1,?2,?,?s,?? ??1,?2,?,?s, 则?+???1,?2,?,?s.
?如果???1,?2,?,?s,???? ??1,?2,?,?s,问题：?+????1,?2,?,?s.
答:??+? ??1,?2,?,?s.
例14已知?可用?1,?2,…,?s 线性表示，但不可用?1,?2,…,?s-1线性表示．证明 ⑴ ?s不可用?1,?2,…,?s-1线性表示； ⑵ ?s可用?1,?2,…,?s-1,?线性表示． (看题解) （2） 解：设??c?11?c?22???c?s?1s?1s?1?c?ssss cs?0
??c1?1?c2?2???cs?1?1(??s?c?
cc?11?c?22???c?s?1s?1??s
（1）用反证法
如果?s??1?1????s?1?ss?1,则
??cs???
c?11???c?s?1s?1?c??11s?1?s?1
