2010考研基础班线性代数讲义
第一讲 基本概念
线性代数的主要的基本内容：线性方程组 矩阵 向量 行列式等 一．线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式为:
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2, ? ? ? ? ? ?
?ax?ax???ax?b,m22mnnm?m11 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.
线性方程组的解是一个n个数C1,C2, ?, Cn构成,它满足:当每个方程中的 未知数
x1都用
C1替代时都成为等式.
对线性方程组讨论的主要问题两个:
(1)判断解的情况.
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.
?ax?by?c? dx?ey?f?
如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。
(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: b1?b2???bn?0的线性方程组.0,0,?,0 总是齐次线性
方程组的解,称为零解.
因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.
矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m行n列的表格称为m?n矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.
30?2415是一个2?3矩阵.
对于上面的线性方程组,称矩阵
a11A?a21?am1a12a22?am2????a1na2n?amn和
a11(A?)?a21?am1a12a22?am2????a1nb1a2nb2??amnbm
为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.
2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为
1
?11?1?11?2,常数列为
?10?x1-x2-x3?1,1??-x1?x2?x3?-1,?1,则方程组为
?-x-2x?2.2n?2
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.
零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量. 2. 矩阵和向量的关系
书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.
3问题:(3,-2,1)和
?21是不是一样?
作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?3矩阵,右边是3?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.
一个m?n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.
3. n阶矩阵与几个特殊矩阵 n?n的矩阵叫做n阶矩阵.
把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.) 下面列出几类常用的n阶矩阵:
对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵:满足AT?A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总
是相等的n阶矩阵.
问题:下列矩阵都是什么矩阵?
1①
000120002100 ⑤ ②
c000000c000000c000 ③
200?110170
000④
11对角矩阵: ①、②、⑤ 上三角矩阵: ①、②、③、⑤ 下三角矩阵: ①、②、⑤ 对称矩阵: ①、②、④、⑤ 三. 线性运算和转置 1.线性运算
是矩阵和向量所共有的.
① 加(减)法:两个m?n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m?n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).
0141?57?12?403?6?1301?21
两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减).
② 数乘: 一个数c与一个m?n的矩阵A可以相乘,乘积仍为m?n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.
一个数c与一个n维向量?可以相乘,乘积仍为n维向量,记作c?.法则为?的每个元素乘c.
c000c000?cEc
向量组的线性组合:设?1，?2?，?s是一组n维向量, 1, 则称c1a1cc2,?, cs是一组数,cc2,?, cs为
?c2a2???csas为?1，?2?，?s3?10847?6A?50的(以1, 系数的线性组合.例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组
合.
3 解:
?108?47?66?122T5?0
2.转置
把一个m?n的矩阵A行和列互换,得到的n?m的矩阵称为A的转置,记作
A.
105837TT1?53T087T
(A?B)?A?B(cA)?cATT ?1?T?(?1.2.3)即??23 四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵
1.初等变换
矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类. 初等行变换:
① 交换两行的位置.
② 用一个非0的常数乘某一行的各元素. ③ 把某一行的倍数加到另一行上. A?B.
2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
① 如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上.
② 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.
1000?3000220064?3051?639040000?3000220064?3051?63904
1000000?30000?10200000264?300
51?6490110101
4问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵?
c000c000c
00
一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵. 问题:如果A是阶梯形矩阵. (1) A去掉一行还是阶梯形矩阵吗? (2) A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?
3. 简单阶梯形矩阵
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角. 简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足: ③台角位置的元素为1. ④并且其正上方的元素都为0.
4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵
每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵. 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵
