2?5613131?32651?32652?561313?25?4?15?1??25?4?15?1??11?4?91?11?4?911?32651?326501213213002?212?01002?212?0?2?2?36002?1121?326501213002?212000101?32051?300?71000?012030100?9100002012?00106?0001000010000100001请注意:
① 从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.
②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.
③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的. 4. 线性方程组的矩阵消元法
消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解. 线性方程组的同解变换有三种:
① 交换两个方程的上下位置. ② 用一个非0的常数乘某个方程.
③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上.
反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.
矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解. 例:
1511103?2?1?2A??00314
000?24
00000
?34?960
?x1?5x2?x3?x4?1??3x2?2x3?x4??2? 3x?x?4
4?3??2x?44?
矩阵消元法步骤如下:
(1)写出方程组的增广矩阵（
A?），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(
B?).
(2)用(
B?)判别解的情况:
如果最下面的非零行为(
0,0,?,0d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会
大于未知数个数n),r=n时唯一解；r (3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉( B?)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵 ( B0?0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵( E?),则?就是解. b11(B0?0)?0?01?0?001?000?0*b22?0????**?000?1????c1c2cn**?bnn ?0(c1,c2,?,cn) 就是解. (A?)?(B?)?(B0?0)?(E?),?就是解. 1(B0?0)?000100053001?230530000011?2303?46?21?11?21?0001?244030000100001102?2 ?解为(1,0,2,-2). 对齐次线性方程组: (1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B. (2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r 第二讲 行列式 1.形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11a21?an1a12a22?an2????a1na2n?ann (简记为 aij) 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作行列式的的核心问题是值的计算. 一. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式: A. a11a21a12a22?a11a22?a12a21 a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31a12a22a32?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33一般地,一个n阶行列式 aij= ?j1j2?jn(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn. 这里 1．是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.) 2. 每一项 a1j1,a2j2?anjn ,都是n个元素的乘积,它们取自不同行,不同列. 即列标 j1,j2?jn构成1,2, ?,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n 元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项. ?j1j2?jn表示对所有n元排列求和. 3. 规定 ?(j1,j2?jn)为全排列 j1,j2?jn的逆序数. 称12?n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数. 例如求436512的逆序数: 323200 436512, (436512)=3+2+3+2+0+0=10. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 例如下三角行列式 a11a21?an?11an1?(?1)0a22?an?12an2?(12?n)00????????00?an?1n?1ann?10000ann a11a22?ann?a11a22?ann对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积 x?35例 求 ax?8b2?10x?11的系数是-10 4?21x的x402和x3的系数. 解析： x4的系数是1； x3二. 化零降阶法 1.余子式和代数余子式 元素 aij的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作Mij. i?jaij的代数余子式为 Aij?(?1)Mij. 2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和. n=4, aij?a21A21?a22A22?a23A23?a24A24?3405617=(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-4M12+6m3 例如 求3阶行列式 ?24 =(-3)?(-5)-4?(-18)+6?(-10)=27. 1t例 01t?0001?0?????????tt00?11?n0?0 解析： 原式=1 A11+t A1n =1+ =1+ t?(?1)tn?1 (?1)321?ntn 02?73420?2020的第四行各元素的余子式的和. 2例 求行列式 05解析：
