1?x1111?x1111?x111?4?x4?x4?x11?x1111?x1111111?x4?x4?x111?0x00解：
00x0000x所以值?x（3x?4)①分析：与②同理
④分析：类型一致
③分析：把下面三行分别加到第一行
1234523451例2
34512
4512351234解： 123451523451523451153451034512?154512?0451231551230512341512340111?4?111?1511?41?11?41?411?15?1?41?4111?111?100?5?15?10?50?1?500?1000所以值=15×125=1875
112311111?4?41?41111?x
451?4?411111
1?x11例3
11?x211111?x311111?x4
11解：
1?x11111111x100011?x2110x20011?x211111?x3100x30000x4111?x311111?x41111?x4x1?00010x20011?x21100x30111?x31000x4???1111?x4x1000111100x30000x4???
??????111?4x1x2x3x4??例4 证明
a?ba?00分析：
ba?b?000b?00?????00?a?ba00?ba?b?n?ai?0n?ib?ian?1?bn?1a?b(当a?b时）证明：归纳法：展开递推?再用归纳法证明之 也可以：
递推公式Dn?(a?b)Dn?1?abDn?2
aa?00ba?b?00a00b?00ba?????0b?000b?00n00?a?ba??????????00?a000?ba?b00?a?ba00?ba00?b0?00ba?b?000b?00?????00?a?ba00?ba?b?bDn?1??00a0ba?00?ba?b???bDn?1??00?00?bDn?1?anDn-1?bDn?1?a?1?另Dn-1?aDn?1?b?2??1??a??2??b?(a?b)Dn?a另当a?b时2aa?00a2a?000a?00?????00?2aa00?a2an其值为(n?1)a
nn?1?bn?1?Dn?an?1?bn?1a?b(当a?b时）推广：（a?bc?00ab?cd）da?b?000d?00?????00?a?bc00?da?b其值为an?1?bn?1
a?b
第三讲 矩阵
二. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵) 1． 两种基本矩阵方程
在等式AB=C中,如果已知C及A,B中的一个,求另一个. 就提出下面两种基本形式的矩阵方程: (I)
AX?B . (II) XA?B . A,B X
?B.
这里要求A是行列式不为0的n阶矩阵,这样可使得这两个方程的解都是存在并且唯一的. 先讨论(I) AX设 B 是 n?s矩阵，则 X也是 n?s矩阵. 如果 s?1,即
B只有一列,则(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.此
(AB)?(EX).
接可以用初等变换法求出:
B如果s?1，设
则
?(?1,?2,??s), X?(X1,X2,?Xs).
A(X1,X2,?Xs)?(?1,?2,??s).即
(AX1,AX2,?AXs)?(?1,?2,??s)?{AXi??i,i?1,2,?s}
这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而 AX这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解:
?B有唯一解.
(A?1,?2,?,?s)?(EX1,X2,?Xs)即得(I)的解法: 将
A 和 B并列作矩阵 (AB),对它作初等行变换,使得 A变为单位矩阵,此时
B变为解 X. (AB)?(EX)
?0?A???1??1?例
?0?(AB)???1??1??1???0?0?
1101100??1??1?B??2?5?1???,0112?15?1??0??3??.求 AX?B的解
0111?5012?31???1?2??
3???1?3??
?1??1??0???0?0?3???0100101?5012?43??1???1???0?04???0?3011?2
??3?X??1??2?1???1?2??
(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式: AXTT?B.再用解(I)的方法求出X,转
TT置得
X..
(ATBT)?(EXT)
2007年的一个题中,求3阶矩阵 B , 满足
?1???2??1??1??0??B??1??????????0??????2?B?1???1?B?1???1???1?????2???,?0????0???,?1????1??.
解:建立矩阵方程
?110???10?B???111??2???211????101?????201??
??1?11?22?2??110110???1101???0110??011011????0?21?3?110110?0001???011011????1??01010??003?330????001?11?1?1?1?1?BT??0?101???0?B??101?????110?????110??
2. 可逆矩阵 (1) 定义
a?0,ab?ac?b?c?1用 a乘等式两边.
如果有 H,使得
HA?E,AB?AC?B?C
0?1???2??
?1?1??0??
111
