?''=-=+---=-+- ??
?
∴2
2
1||(2||)4().2p PQ PH a y a p a ??
??==-+- ???????
令02p a -=，得2p a =，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p
y =，即
抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得
222222222121212||2||1()414821 2.
AB k x x k x x x x k p k p p k k =+-=+?+-=+?+=+?+又由点到直线的距离公式得2
1d k =
+，从而，
2222211||21222221ABN S d AB p k k p k k
?=
??=?+?+?=++，
（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为
11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y=a 代入得211()()0,x x x a p a y -+--= 则21114()()4().2p x a p a y a y a p a ???
??=---=-
+- ???????
设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3, y 3），Q （x 4, y 4），则有
3411||||4()2().22p p PQ x x a y a p a a y a p a ?????
?=-=-+-=-+- ? ?????????
令0,22p p a a -==得，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =，即抛物
线的通径所在的直线.
50、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为3，右准线方程为3
x =（Ⅰ）求双
曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22
:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得23
33a c
c a
?=????=??，解得1,3a c ==， ∴222
2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212
y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆22
2x y +=上，
圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000
x
y y x x y -=--，
化简得00
2x x y y +=.由2
20
0122
y x x x y y ?-=???+=?及22002x y +=得()222000344820x x x x x --+-=， ∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2
002x <<，
∴20340x -≠，且()()
222
00016434820x x x ?=--->，
设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2
00
121222
00482,3434
x x x x x x x x -+==--， ∵cos OA OB AOB OA OB
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r ，且()()1212120102201
22OA OB x x y y x x x x x x y ?=+=+--u u u r u u u r ，
()2
1201201220
1422x x x x x x x x x ??=+
-++??- N O
A
C B
y x O '
l
()222200002222
000082828143423434x x x x x x x x ?
?--??=+-+----??
??
22
002200828203434
x x x x --==-=--.∴ AOB ∠的大小为90?.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆2
2
2x y +=上，
圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000
x
y y x x y -=--，
化简得002x x y y +=.由2
20
012
2
y x x x y y ?-=???+=?及22002x y +=得()222
000344820x x x x x --+-= ①()222
000348820x y y x x ---+= ②∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且
2
002x <<，∴20
340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222
008228,3434
x x x x y y x x --==--，∴12120OA OB x x y y ?=+=u u u r u u u r ，∴ AOB ∠的大小为90?
.（∵22
002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程
②的判别式均大于零）. 51、（1）若A 、B 是抛物线y 2=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O 为原点）．求证：直线AB 过定点．（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ， A 、B 为抛物线上的两个动点．（Ⅰ）如果直线AB 过抛物线焦点，判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）如果4OA OB ?=-uu v uu u v
（O 为坐标原点），证明直线AB 必过一定点，并求出该定点． (1)证明：设OA ：y=kx ，代入y 2=2px 得k 2x 2=2px 则k p y k p x 2,22==
∴)2,2(2k p
k
p A 同理由OB ：y=-
k
1
x 可得B(2pk 2,-2pk) 2
2
2
22111112222k k k
k k k k
k pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= ∴)2(12:2
2
pk x k
k pk y AB --=
令x=2p 得y=0，说明AB 恒过定点（2p ，0） (2)解：（Ⅰ）∵焦点F 为（1，0），过点F 的直线AB 的方程可设为1x ty =+，代入抛物线24y x =
得：2440y ty --=，1122(,),(,)A x y B x y 设，则有124y y =-，
2212
12 1.
44
y y x x ==g 12121430OA OB x x y y ∴=+=-=-
（Ⅱ）设直线AB 的方程为2
,4x ty b y x =+=代入抛物线消去x ，得
21122440.(,),(,)y ty b A x y B x y --=设，则124y y t += ，124.y y b =- 2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ?=+=+++=++++u u u r u u u r
Q
=b b b b bt bt 44442
2
2
2
-=-++-．
令244, 2.b b b -=-∴=，∴直线AB 过定点（2，0）．…………………13分
52、已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上存在一点P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距
离相等．（I ）求椭圆的离心率e 的取值范围；（II ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3， 最小值为1，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）若直线:l y kx m =+与（II ）中所述椭圆C 相交于A 、
B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点2A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标．
解:（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)P x y ，则|PF |=a ex +，∴a ex +=2
a x c
-， 整理得：2()()a a c x c a c -=+，
而x a ≤，∴2()
()
a a c a c a c -≤+211e ≤<
（II ）3,1a c a c +=-=，3,1,22
===∴b c a ，
∴椭圆的方程为22
143
x y +=． （Ⅲ）设2222(,),(,)A x y B x y ，联立22,
1,43
y kx m x y =+??
?+
=??
得222
(34)84(3)0k x mkx m +++-=．
则222222122
21226416(34)(3)0,3408,344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ?
?=-+->+-?
?
+=-?+?
?-?=
?+?
V f 即 又2222
122212122
3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-=++-+-+=-， ∵椭圆的右顶点为222(2,0),,A AA BA ⊥，
2212(2)(2)0,x x y y ∴--+=1212122()40,y y x x x x ∴+-++=
222222
3(4)4(3)1640,343434m k m mk k k k
--∴+++=-++22
71640,m mk k ∴++=
解
得：1222,7
k m k m =-=-
，且均满足22
340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾． 当227k m =-
时，l 的方程为2()7y k x =-， 直线过定点2,07?? ???， ∴直线l 过定点，定点坐标为2,07??
???
．
53、已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ??
???
三
点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，
证明直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上． （Ⅰ）解法一：当椭圆E 的焦点在x 轴上时，设其方程为
22
22
1x y a b +=（0a b >>）， 则2a =，又点31,2C ?? ???在椭圆E 上，得
2219
124b
+=．解得23b =． ∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=． 当椭圆E 的焦点在y 轴上时，设其方程为
22
221x y b a +=（0a b >>）， 则2b =，又点31,2C ?? ???
在椭圆E 上，得22
19124a +=．解得2
3a =，这与a b >矛盾． 综上可知，椭圆E 的方程为
22
143
x y +=． ……4分 解法二：设椭圆方程为22
1mx ny +=（0,0m n >>），将()2,0A -、()2,0B 、31,2C ?? ???代入
椭圆E 的方程，得41,9 1.4m m n =??
?+=??解得14m =，13n =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）证法一：将直线l ：()1y k x =-代入椭圆E 的方程22143x y +=并整理，得()()2222348430k x k x k +-+-=，设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，
由根与系数的关系，得2122834k x x k +=+，()2
122
4334k x x k -=+． ……8分 直线AM 的方程为：()1122y y x x =++，它与直线4x =的交点坐标为1164,2y P x ?? ?+??，同理可求
得直线BN 与直线4x =的交点坐标为2224,
2y Q x ?
?
?-?
?
． ……10分 下面证明P 、Q 两点重合，即证明P 、Q 两点的纵坐标相等：
∵()111y k x =-，()221y k x =-， ∴
()()()()()()
122112
1212612212622222k x x k x x y y x x x x ----+-=
+-+- ()()()()()()
2222
121212128340283434225802222k k k k k k x x x x x x x x ??
