．由方程组???????
=++-=,134,41
22y
x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。∴13821n x x =
+．于是13
42210n
x x x =+=，13
124100n
n x y =
+-=， 即点M 的坐标为)1312,134(n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n
n +?=13
44．解得
m n 4
13
-=． ②
将式②代入式①得04816926132
2=-++m mx x ③
∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(2
2>-?-=?m m ．解得13
13213132<<-m ． (法2)同解法1得出m n 413-=，∴m m x -=-=)4
13
(1340，
m m m m x y 34
13
)(414134100-=--?-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．
∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴
13
)3(4)(2
2<-+-m m ．解得13
13213132<<-m ．
(法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．
∵A ，B 在椭圆上，∴1342
12
1=+y x ，
13
42
22
2=+y
x ．两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，
即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x ．∴)(432100212
1
x x y x x x y y ≠-=--． 又∵直线l AB ⊥，∴1-=?l AB k k ，∴14430
0-=?-y x
，即003x y = ①。
又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同
解法2.
说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一
元二次方程的判别式0>?，建立参数方程．
(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12
020<+b
y
a x ，将0x ，0y 利用参数表示，建
立参数不等式．
39、已知抛物线y 2=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p 的取值范围.
分析：解决本题的关键是找到关于p 的不等式。
设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，设直线MN 的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x 2+(2b-2p)x+b 2=0.则x 1+x 2=2p-2b,y 1+y 2=( x 1+x 2)+2b=2p.则MN 的中点P 的坐标为 (p-b,p).因为点P 在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。
又?=(2b-2p)2-4b 2=4p 2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p 2-8p(2p-1)>0,3p 2-2p<0.解得：
0 2. 40、已知圆2 2 16 :9O x y += . （I ）若直线l 过点)2,1(，且与圆O 交于两点R 、S ，RS 27， 求直线l 的方程；（II ）过圆O 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ， 若向量OQ OM ON =+uuu v uuu v uuu v ，求动点Q 的轨迹方程；（Ⅲ）若直线n :380l x y +-=，点A 在直线n 上，圆O 上存在点B ，且30OAB ∠=?(O 为坐标原点)，求点A 的横坐标的取值范围. 解：（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，满足题意. ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则2 167193d ?? =-= ? ??? ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+=，综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M ()00,y x ，Q ()y x ,，则N ()0,0y ∵OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ， ∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y = 又∵22 00169 x y +=，∴221649y x +=,由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，∴Q 点的轨迹方程是22 1649 y x +=(0y ≠) . （Ⅲ）依题意点n A ∈，设0 08(,)3 x A x -．过点A 作圆O 的切线，切点为M ，则30OAM OAB ∠∠=?≥．从而 1sin 302 OAM ∠?=≥sin ，即 ||130||2OM OA ?=≥sin ，就是2264||4(||)9OA OM =≤，2 200864()39 x x -+≤,20 0580x x -≤,解得08 [0,]5 x ∈． 41、已知△P AQ 顶点P （-3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，0=?，2=.（1）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l ：y =k （x +1）与轨迹E 交于B 、C 两点，点D （1，0），若∠BDC 为钝角，求k 的取值范围. 解:（1）OM =（x ，y ），=（0，a ），=（b ，0）（b >0），则=（3，a ），=（b ，-a ） ，又·=0，∴a 2=3b ①，又∵=（x -b ，y ），=（b ，-a ），=2，∴???-==a y b x 23 ②， 由①②得y 2=4x （x ≠0）. 即M 的轨迹的方程为y 2=4x ，x ≠0. （2）设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），=（x 1-1，y 1），=（x 2-1， y 2），·=||·||cos ∠BDC ，∵∠BDC 为钝角，∴cos ∠BDC 0| |||
∴· <0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1+y 1y 2<0 ③. 由???+==) 1(4x k y x y 消去y ，得k 2x 2+（2k 2-4）x +k 2 =0（k ≠0），则x 1+x 2=22 24k k -，x 1x 2=1 ④，y 1y 2=k 2 （x 1+1）（x 2+1）= k 2［x 1x 2+（x 1+x 2）+1］ ⑤，④⑤代入③，得k 2<2 1 ?22- （k ≠0），满足△>0. ∴22- 2 （k ≠0）. 42、给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，记O 为坐标 原点.（1）求·的值；（2）设=λ，当三角形OAB 的面积S ∈［2，5］，求λ的 取值范围. （1）根据抛物线方程y 2=4x ，可得F （1，0）， 设直线l 的方程为x =my +1，将其与C 的方程联立，消去x 得y 2-4my -4=0， 设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）（y 1>0>y 2）. 则y 1y 2=-4.因为22 21214,4x y x y ==，所以x 1x 2= .116 12 221=y y 故=?x 1x 2+y 1y 2=-3. （2）因为λ=所以（1-x 1，-y 1）=λ（x 2-1，y 2）. 即?? ?=--=-② ① 12121y y x x λλλ，又,4121x y =③ 22 24x y =， ④ 由②、③、④消去y 1，y 2后，得x 1=λ2x 2，将其代入①注意到λ>0，解得x 2=λ1 . 从而可得y 2=λ 2 - ，y 1=λ2.故三角形OAB 的面积S = 21 |OF |·|y 1-y 2|=λ λ1 +， O A B M x y A O B C ① ② ③ 因为λλ1+≥2恒成立. 所以只要解λ λ1 +≤5即可，解得253-≤λ≤25 3+. 43、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；（ii ）当△ABC 为钝角三角形时， 求这种点C 的纵坐标的取值范围. 讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题. （1）由曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，知曲线M 的方程为x y 42=. （2）（i ）由题意得，直线AB 的方程为?????=--=--=, 4), 1(3),1(32 x y x y x y 由 消y 得 .3,3 1 ,03103212===+-x x x x 解出 于是, A 点和B 点的坐标分别为A )33 2,31(，B （3，32-） ，.3 162||21=++=x x AB 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|， 即有 ??? ????=-++=+++2 2222 2)316()3 2()131()316()32()13(y y 由①－②得,)3 32()34()32(4222 2 -+=++y y .9 3 14- =y 解得 因为9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解. 故知直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由.32, 1),1(3=?? ?-=--=y x x y 得 即当点C 的坐标是（－1，32）时，三点A ，B ，C 共线，故32≠y . 22223 349 28)3 32()3 11(||y y y AC +-=-+--=， 22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9 256 )316(||22==AB . (i) 当222||||||AB AC BC +>，即9 256 334928342822+ +->++y y y y ， 即CAB y ∠>,39 2 时为钝角. (ii) 当222||||||AB BC AC +>，即9 256 342833492822+ ++>+-y y y y ， 即CBA y ∠-<时33 10为钝角. (iii)当222||||||BC AC AB +>，即 2234283 349289256y y y y ++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角. 故当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9 323 310≠>- 44、在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC= 2 2 。DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线 E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设 λ=DN DM ， 试确定实数λ的取值范围． 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y = 22)2 2 (22222=++ ∴动点P 的轨迹是椭圆 . x
