221(0)y x a b a b
+=>>
的一个焦点1(0,F -
，对应的准线方程为y =.（1）
求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ??
- ???
平分，
求直线l 的方程.
解：（1
）由2
222.c a
c a b c ?-=-??-=??
?=+?
3,1a b ==
即椭圆的方程为2
2
1.9
y x +=
（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ?
?-=+=++ ??
?即
设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由2
23,221.
9k y kx y x ?
=++????+=?? 得2222
327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则222
2
327(3)4(9)042
4k k k k k ??
?=+-+?+-> ???
①
∴2
122
3.9k k x x k ++=-+
∵MN 的中点为13,22P ??
- ???
，∴1212 1.2x x ??+=?-=- ??? ∴223 1.9k k k +-=-+
∴2239k k k +=+，解得k =3.
代入①中，229927184(99)180424??
?=-+?+-=> ???
∴直线l ：y =3x +3符合要求.
15、设12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，(1)设椭圆C
上的点到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与
椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM
PN
k K ?
的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论. 解：（1
）由于点2
在椭圆上，2
2
21b +=2a =4, 椭圆C 的方程为
22
143
x y +=焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）
（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y + 把K 的坐标代入椭圆221
43
x y +=中得
22
(21)(2)143
x y ++=线段1KF 的中点B 的轨迹方程为2
21()1
32
4
y x ++=
（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称 设
0000(,)(,),(,)
M x y N x y p x y --,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得
2222
00222211x y x y a b a b
+=+=，0
PM PN y y y y k K x x x x -+=
=
-+
PM
PN k K ?=22
00022000y y y y y y x x x x x x -+-?=-+-=2
2b a
-
故：PM PN k K ?的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关
16、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足3
4
,,32e 成
等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线
段AB 恰好被直线2
1
-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明
理由．
解 ： (Ⅰ)由题意知，9
8
34322
=?=
e ，所以322=e ． 设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，
3
224
29)22(2
2=
+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922
=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有
???
????
+=-=+=22
122
10210y y y x x x ，可得??
?=+-=+0212121y y y x x ． 若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19
)21(2
02<+-y
，解得023*******<<-< ????=+=+ )2(19)1(19 2 2222 121y x y x )1()2(-得，09 ) )(())((1212 1212=+-++-y y y y x x x x ， 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -?-=++-=--=， 所以AB k y 29 0=， 则有029 233233290<<-<< AB AB k k 或， 解得33-<> AB AB k k 或， 故存在直线l 满足条件，其倾斜角)3 2,2()2,3( π ππ πα?∈． 三、定义与最值： 17、已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点． （1）求3 2 PA PF + 的最小值，并求点P 的坐标；（2）求PA PF +的最大值和最小值． 解:(1)由椭圆的第二定义转化知32PA PF + 的最小值是2 11，此时P )1,556(- ； (2)依题意，由椭圆的第二定义知)(6)6(22PF PA PF PA PF PA -+=-+=+ ∵222= ≤-AF PF PA ∴222≤-≤-PF PA ∴)(26262=+≤+≤-三点共线时取、、当且仅当F A P PF PA 18、设F 1、F 2分别是椭圆2 214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点， （Ⅰ）求12PF PF ?u u u r u u u r 的最大值和最小值;（Ⅱ）求21PF PF ?的最大值和最小值． 解：易知2,1,a b c === 12(0),0).F F 设P （x, y ） ，则2222 2121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ?=-?-=+-=+--=-u u u r u u u r 因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?u u u r u u u r 有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?u u u r u u u r 有最大值1. 19 、若双曲线过点 ，其渐近线方程为y =.（I ）求双曲线的方程; （II ）已知A )2,3(，)0,3(B ,在双曲线上求一点P ,使PB PA 3 3 + 的值最小． 解：（Ⅰ）12y x 2 2 =-（II ）)2,3(P ,最小值为333- 20、以椭圆 13 1222 =+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点 到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决． 解：如图所示，椭圆 13 122 2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组? ??=+-=-+090 32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小． 所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ， ∴() 363532 2222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为136 4522=+y x ． 21、已知动点P 与双曲线22x －3 2 y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF ?2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM = DN ，求实数的取值范围． 解：①92x +42y =1；②2；③[5 1 ,5] 22、 E 、F 是椭圆22 24x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交 椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ?的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值． 解：（1）22 41282AEF m n S mn m n ?+=??==?+=? （2）因4 84 AE AF AB AF BF BE BF ?+=??++=? +=??， 则 5.AF BF += （3）设(22,)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠ 32232222223 ( (1t ?=÷+==≤， 当6t =3 303 tan EPF EPF ∠= ?∠=o 23、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2 ||?→ ??→??→?=?PC k BP AP .（1）求动点 P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2=k 时，求||?→ ??→?+BP AP 的最大值和最小值． 解：(1)设动点P 的坐标为),(y x ， 则)1,(-=?→?y x AP ，)1,(+=?→?y x BP ，),1(y x PC -=?→ ?. ∵2 ||?→ ??→??→?=?PC k BP AP ，∴[] 2 222)1(1y x k y x +-=-+， 即 012)1()1(2 2=--+-+-k kx y k x k . 若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线. 若1≠k ，则方程为2 22)11()1(k y k k x -=+-+ ， 表示以)0,1(k k -为圆心，以为半径 |1|1k -的圆. (2)当2=k 时，方程化为1)2(2 2=+-y x . )2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+?→ ??→ ? ∴2 22||y x BP AP +=+?→ ??→ ?. 又∵1)2(2 2 =+-y x ， ∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则 θcos 4522||22+=+=+?→ ??→ ?y x BP AP ∴当1cos =θ时，||?→ ??→ ?+BP AP 的最大值为6，当1cos -=θ时，最小值为2. 24、点A 、B 分别是以双曲线 162x 120 2 =-y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，0=? （1）求椭圆C 的的方程；（2）求点P 的坐标；（3）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值． 解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622= -， ∴所求的椭圆方程为 +362x 120 2 =y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则
