圆锥曲线综合训练题
一、求轨迹方程：
1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22
13649
x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的
离心率2e 之比为7
3，求双曲线1C 的方程．
（2）以抛物线2
8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±2137e =
由1273
e e =得1133e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2
2
222
13
139a b a b a ?+=??+=?
? 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00
62
2
x x y y +?
=????=??，∴00262x x y y =-??=?．
代入2008y x =得：2
412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三
角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5
3
sinA,求点A
的轨迹方程．
解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，
有6=b ，故其方程为
()01361002
2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有???
????='='33
y
y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
53sinA 2RsinC-2RsinB=5
3
·2RsinA ∴BC AC AB 5
3
=
- 即6=-AC AB （*）
∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为
116
92
2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，
反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b
y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21
，且
x 2-x 1=5
6
，求椭圆C 的方程.
解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为13422
22=-k
y k x . 由题设条件得：114)
2(120x x k ----=--+， ①
2
24)
2(120x x k ----=--+， ②
x 2-x 1=5
6
， ③
由①、②、③解得：k =1，x 1=5
11
-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ?中，2
1
tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为
∴所求椭圆方程为
13
1542
2=+y
x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．
则?
???
?????==+-=-.
1,21,2cy c x y
c x y
∴???????===233435c c y c x 且即
（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴2
1
||||=OQ OP ，由角平分线性质可得
||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=2
1
|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得?
????
??????
=+?+=+=+?+=3
22110213422
11421n n y m m x ，即???????=-=232
43y n x m ，∴点P 的坐标为??? ??-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得4232432
2=??
?
??+??? ??-y x ， 即234??? ??-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为2
34??
? ??
-x +y 2=916（y ≠0）.
6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在
直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足
0OP OQ ?=uu u v uuu v ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题
意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42
=
（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，
由2
(1)
4x k y y x
=-??
=?得2
440y ky k -+=
△2
16160k =->，11k k <->或
设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =
由0OP OQ ?=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r
，于是12120x x y y +=，
即()()21212110k y y y y --+=，222
1212(1)()0k y y k y y k +-++=，
222
4(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），
又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=
7、设双曲线y a
x 222
31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q
两点，且OP OQ →→
=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
解：（I ）Θe c a =∴=2422
，
Θc a a c 2
2
312=+∴==，，
∴-
=双曲线方程为y x 2
23
1，渐近线方程为y x =±3
3 4分
（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()
M x y ，
[
]
Θ25525
2
21010
333
3
22333
3
3331012121221221122121212121212122
122
||||||||()()()()
()
()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴=
=?=∴-+-==
=-=+=+∴+=--=+∴
+++????
?
?=又，，，， ∴+=+=3213210075325
12
2
22()()y x x y ，即
则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为103
3
的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l
设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122
[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00
110
101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=???
?
?--+-=+=-=--()()()
13131633063133
31
2222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .
8、设M 是椭圆22
:
1124
x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．
解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠
则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分
2
2
112
2
22
1,(1)
12
4 1.(2)124
x y x y ?+=????+=??L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ?=-…6分又
MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ?=-=-所以11
.3QN y
k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-
从而得1111
,.22
x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得2
21(0),3
x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程．
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法．设出它们的方程，L ：y=kx(k≠0),C:y 2=2px(p>0). 设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A /
（12,11222+-+-k k k k ），B /（1
)1(8,116222+-+k k k k ）。因为A /、B /均在抛物线上，代入，消去p ，得：k 2-k-1=0.解得：k=
251+,p=552.所以直线L 的方程为：y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=5
5
4x. 10、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆
外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足
.0||,022≠=?TF TF （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a
c
a F +
=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，
求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x
由P ),(y x 在椭圆上，得
.
