),,4(),,6(y x y x -=+=由已知得
M
F
E
O
y
A
B
P x
22
213620(6)(4)0x y x x y ?+=?
?
?+-+=?
则018922
=-+x x ，解之得623-==x x 或，
由于y>0，所以只能取23=x ，于是325=y ，所以点P 的坐标为??
?
??325,
239分 （3）直线063:=+-y x AP ，设点M 是)0,(m ，则点M 到直线AP 的距离是2
6
+m ，于
是62
6
-=+m m ， 又∵点M 在椭圆的长轴上，即 66≤≤-m 2m ∴= ∴当2=m 时，椭圆上的点到)0,2(M 的距离
2
22222549
(2)4420()15992
x d x y x x x =-+=-++-
=-+ 又66x -≤≤ ∴当2
9
=x 时，d 取最小值15
25、已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ?=，
且,OF FP t OM j ?==+uu u r uu r uuu r u r r .（I
）设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角uu v uu v 的取值范围；（II ）
设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且
||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.
解：（1）由3
4sin cos ,sin 34||||,sin ||||2
132θθθ
θt FP OF FP OF ==???=由得，
得.34tan t
=θ…………………………………………………………………3分
],0[3
tan 1344πθθ∈<<∴<<ΘΘt ∴夹角θ的取值范围是（
3,
4π
π）
………………………………………………………………6分 （2）).0,(),,(),,(0000c y c x y x P =-则设
2000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y ?∴?=-?=-==∴==?==u u u r u u u r
u u u r
…………………………………………………………………………………………8分
||OP ∴=u u u r 分
∴当且仅当)32,32(,,62||,2,3
43±===
c c
c 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33
=+=
∴OM 或)1,2()1,0()32,32(3
3-=+-=OM …………12分 椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a 或2
17
1,217117
1)01()22()01()22(222222+=
+=
∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为
112162
2=+y x .或12
17
12
17922=+++y x …………14分 26、已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2
2
=++y x 内切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；
（Ⅲ）在10<
所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为12
2
2
=+y x ． （Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2
222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA
22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，
当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2
max )1()1()(+=-=a f x f ；
当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则
[]22)()(2max +==
a a f x f ；
当1>-a ，即1-
max )1()1()(-==a f x f ．
所以，???
????>+≤≤-+-<-=1,111,221,
1)(2
a a a a a a a d ．
（Ⅲ）当10<
1
21a a S -=
,2222+=a S ,（12分） 若正数m 满足条件，则)22()1(2212
2+≤-a m a a ，即)
1(4)1(22
2+-≥a a a m ，
22222
)1(8)1(+-≥a a a m ，令2
222)
1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12
-=t a ， 于是641
431411328123818)2)(1()(2
2222+??? ??--=??? ??-+-=???
? ??-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641
)]([max =a f ，
即6412
≥m ，8
1≥m ．所以，m 存在最小值81．
27、已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件|PM |-|PN |=22. 记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OB OA ?的最小值． （1）由|PM |-|PN |=22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =2.
又半焦距c =2，故虚半轴长b =.222=-c
所以W 的方程为12
22
2=-y x ，x ≥2. （2）设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）.
当AB ⊥x 轴时，x 1=x 2，y 1=y 2，从而·
=x 1x 2+y 1y 2=.221
2
1=-y x 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，与W 的方程联立，消去y 得 （1-k 2）x 2-2kmx -m 2-2=0，
故x 1+x 2=2
12k
km
-，x 1x 2=1222-+k m ， 所以·=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2
=.142122121)2)(1(2
222
222222-+=-+=+-+-++k k k m k m k k m k 又因为x 1x 2>0，所以k 2-1>0，从而OA ·
OB >2. 综上，当AB ⊥x 轴时，OA ·
OB 取得最小值2. 28、一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点
)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的
坐标．
解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则
211-=+m n 且032
212=+--?n
m ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)5
2
,59(-． …………………4分
（Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义，
得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)05
2
()159(22=-+--=
，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．
∴所求椭圆方程为12
22
=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22
=c
a Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的
右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=
t t t t d ，22-=t d ．
2
2221)2(225210105-++?=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分 令
2
2)2(2
2)(-++=
t t t t f )22(<<-t ，则)
(t f 在
3
4-
=t 时取得最小
值． ………………………………13分
因此，
21d d 最小值＝22)34(5=-?f ，此时点Q 的坐标为)3
1,34(-．…………14分
注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
29、设F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点
P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知：.||2||,8||MF PM MN ==且（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ；（3）求三角形ABF 面积的最大值．
解（1）48||=∴=a MN Θ
12
2)
(12
1
0132)(2||2||22222=-==∴==?=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又Θ1
121622=+∴y x 椭圆的标准方程为………………………（文6分，理4分）
（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意
当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程
整理得
014448)43(22=+-+my y m 则
431444
348),43(1444)48(22122122+=
?+=
++?-=?m y y m m
y y m m
662222112211-+
-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF
AF 0)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my .,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而
综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠.………………………………（9分）
（3）
434
72||||212212+-=-?=-=???m m y y PF S S S PAF
PBF ABF
3
316
32724
16
4372
16
)4(3472222
2=?≤
-+
-=+--=m m m m
当且仅当
328
4
1643222=
-=
-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.
三角形ABF 面积的最大值是.33………………………………（13分）
四、弦长及面积：
30、已知双曲线的方程为2
2
13
y x -=，设F 1、F 2分别是其左、右焦点．(1)若斜率为1且过F 1 的
直线l 交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的长；(2)若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=o
，
求12F PF ?的面积S ．
解：（1）AB ：2y x =+，代入22
13
y x -=并整理得22470x x --=
设1122()()A x y B x y ，，，则12127
2,2x x x x +==-
6AB ∴===
（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2
在12F PF ?中，由余弦定理有2
2
2
162cos602m n mn m n mn mn =+-=-+-o
12mn ∴
=11sin 601222S mn ∴=
=?=o 31、已知椭圆142
2=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）
若直线被椭圆截得的弦长为5
10
2，求直线的方程．
