解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程142
2=+y x 得 ()1422=++m x x ，
即
012522=-++m mx x ．
()()
20161542222
≥+-=-??-=?m m m ，
解
得
2
5
25≤≤-
m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5
221m
x x -=+，51221-=m x x ．
根据弦长公式得 ：5102514521122
2
=-?-??
?
??-?+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 32、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3
π
的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．
分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212
212
212
x x x x k x x k AB -++=-+=求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因
为焦点在x 轴上，
所以椭圆方程为
19
362
2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132
=?++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以
13
37221-
=+x x ，
13
83621?=
x x ，
3
=k ， 从而
13
48]4))[(1(1212212212=
-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为19
362
2=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在
2
1F AF ?中，
3
cos
22112
212122π
F F AF F F AF AF -+=，即
2
1
362336)12(22???-?+=-m m m ；
所以3
46-=m ．同理在21F BF ?中，用余弦定理得346+=n ，所以1348
=+=n m AB ．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程0836372132
=?++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，
B 的横坐标．
再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．
33、设双曲线方程22
221(0)x y b a a b
-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线
l
．（1）求双曲线的离心率；（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m 被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．
解：（1
）2222222222b a b a c a a c a e e >?>?->?>?>?………………………2分
直线l 的方程为1x y
a b +=，即0bx ay ab +-=，由原点到直线l
得
ab d c =
=
=，即222416()3a c a c -=，…………………………………4分 两边同时除以4a 得2416(1)3e e -=，整理得42316160e e -+=，解得24
43
e =或…5分
又e >2e = ……………………………………………6分
（2）由（1）知道2e =即2c a =，所以设双曲线的方程为22
2213x y a a
-=
又由题意得直线m 方程为2(2)y x a =-，代入双曲线方程得 ……………………7分
22234(2)3x x a a --=，整理得2216190x ax a -+=…………………………………8分
记直线m 与双曲线的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则有2121216,19x x a x x a +== …9分
∴123015AB x a -= ∴1
2
a =………………………………………………………………………………11分
∴所求双曲线方程为22
11344
x y -
=…………………………………………………12分 34、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆22
34x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；
（Ⅱ）当90ABC ∠=o
，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程． 解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．
设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，
，． 由22
34x y y x
?+=?
=?，得1x =±
．所以12AB x =-=．
又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l
的距离．所以h =
1
22
ABC S AB h =
=g △． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m
?+=?=+?，得22
46340x mx m ++-=．
因为A B ，在椭圆上，所以2
12640m ?=-+>．
设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232
m
x x +=-，212344m x x -=，
所以122
AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l
的距离，即
BC =22222
210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．
所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640?=-+>）
此时AB 所在直线的方程为1y x =-．
35、梯形ABCD 的底边AB 在
y 轴上，原点O 为AB 的中点
，
|||2,AB CD AC BD =
=-⊥M 为CD 的中点.（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=uuu v uu u v
，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过1(0,)2
的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ?面积的最大值．
解：（Ⅰ）设点M 的坐标为M (x, y )(x ≠0)，
则(,1(,1C x y D x y -+
又
(0,A B 由AC ⊥BD
有0AC BD =u u u r u u u r
g ，即
(,1)(,1)0x y x y -+=g ，
∴x 2+y 2=1（x ≠0）. ………………………（4分）
（Ⅱ）设P （x, y ），则()0(1),M x y λ+，代入M 的轨迹方程有2
2
2
0(1)1(0).x y x λ++=≠
即
22
1(0)12()10
x y x λ+=≠+，∴P 的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.
要P 到A 、B 的距离之和为定值，则以A 、B 为焦点，故1212
(1)0λ-
=+. ∴0 2.λ= 从而所求P 的轨迹方程为9x 2+y 2=1(x≠0). ………………………9分 （Ⅲ）易知l 的斜率存在，设方程为1.2
y kx =+ 联立9x 2+y 2=1，有223
(9)0.4k x kx ++-=
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则1212
223
,.94(9)
k x x x x k k -+=-
=++ 21x x ∴-==令29t
k =+，则21x x -=
且9.t ≥ 211122OPQ S x x ?∴=?-==119,0.9
t t ≥∴<≤Q
所以当119
t =
，即9,t =也即0k =时，OPQ ?．…… 14分
五、范围问题:
36、直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双
曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？
解： (1) 联立?????=-+=1
312
2y x ax y ? (3－a 2)x 2－2ax －2＝0 ① 显然a 2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．
若交点A 、B 在双曲线同支上，则方程①满足：
消去
y
???
??>->-+=?03
2
0)3(84222a a a ???
???>-<<<-3366a a a 或 ?
a ∈(－6，－3)∪(3，6)
若A 、B 分别在双曲线的两支上，则有：
???
??<->-+03
2
0)3(842
22a a a ?a ∈(－3，3) (2) 若以AB 为直径的圆过点O ，则OA ⊥OB ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)由于x 1＋x 2＝2
32a a
-，x 1x 2
＝
3
22
-a a
． ∴y 1y 2＝(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2＋1 ＝a 2·
322-a ＋a ·2
32a a
-＋1＝1 ∵OA ⊥OB ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴
3
2
2
-a ＋1?a ＝±1 此时△＞0，符合要求． 37、已知圆C ：（x -1）2+y 2=r 2 （r >1），设M 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上． （1）当r =2时，求满足条件的P 点的坐标；（2）当r ∈（1，+∞）时，求点N 的轨迹G 的方程；（3）过点P （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相
交于两个不同的点E 、F ，若·
CF >0，求直线l 的斜率的取值范围． 解：(1)由已知得，r =2时，可求得M 点的坐标为M （-1，0）. 设P （0，b ），则由k CP ·k MP =-1（或用勾股定理）得：b 2=1. ∴b =±1即点P 坐标为（0，±1）. （2）设N 坐标为（x ，y ），由已知得，在圆方程中令y =0，求得M 点的坐标为（1-r ，0）. 设P （0，b ），则由k CP ·k MP =-1（或用勾股定理）得：r =b 2+1.
∵点P 为线段MN 的中点，∴x =r -1=b 2，y =2b ，又r >1.∴点N 的轨迹方程为y 2=4x （x >0）. （3）由题意知直线l 的斜率存在且不等于0. 设直线l 的方程为y =kx +2，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， x 1>0， x 2>0.
由???=+=x
y kx y 422， 得k 2x 2+（4k -4）x +4=0，由?=-32k +16>0，得k <21且k ≠0.
x 1+x 2=2
44k
k
->0，x 1x 2=24k >0，得k <1. ∵·>0，∴（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2>0. ∴（k 2+1） x 1x 2+（2k -1）（x 1+x 2）+5>0.得k 2+12k >0. ∴k >0或k <-12. ∴0 1 或k <-12. 38、已知椭圆13 42 2=+ y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称． 分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上． 利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41
