所以, 数的加法与乘法是 的代数运算.
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法满足分配律, 所以 (3) 因为
的加法与乘法也满足这些运算律. , 且对任意的
所以数零是 (4) 任给
的加法零元. ,
,
所以
的每个元都有负元, 且
构成交换环, 显然
,
.
无单位元. , 且对任意的 ,
, 矛盾.
, 有
从而由环的定义知, 事实上， 如果
, 有
有单位元 , 则 ，即
, 所以
2
24、设群G的每个元素x都适合方程x= e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。
证明：任意x、y∈G，由x= e，y= e有x= x，y= y。又由(xy)=
2
2
-1
-1
2
e有(xy)= xy。从而yx= y x= (xy)= xy．即G是交换群． 25． 证明数集 成一个有单位元的交换环. 证明 (1) 任给
,
, 则
关于数的加法与乘法构
-1-1-1-1
所以, 数的加法与乘法是 的代数运算.
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法有分配律, 所以 (3) 因为
的加法与乘法也满足这些运算律.
, 且对任意的
所以数零为 (4) 任给 且
所以, 的零元.
,
的负元为 .
(5) 因为
, 且对任意的
所以数1为
的单位元.
,
,
, 有
, , 有
26． 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设 如果 证明 设
, 从而
, 或
, 则
, 则
.
. 因为 无零因子, 且
, 所以
. 同理可证另一个消去律成立.
27、群G的两个子群的交集还是G的子群。
证明：设H1、H2为G之子群，a、b∈H1∩H2，则a、b∈H1，且a、b∈H2．
又H1、H2为子群，故ab-1∈H1，ab-1∈H2，从而ab-1∈H1
∩H2．又显然e∈H1∩H2，即H1∩H2非空，故H1∩H2是G之
子群． 28． 证明 证明 可先证 元都可逆. 设 则
, 且
, . 故
, 则 为域.
. 令
,
为域.
是有单位元的交换环. 下证,
的每个非零
29、设R是阶大于1的交换环。证明：当R不含零因子时，R[x]亦然。
证明：因为 R >1，故R[x]有非零多项式。 设R[x]有零因子，即存在非零多项式
f(x)，g(x)，f(x)g(x) ? g(x)，使f(x)g(x)=0。 (*) 令a?0，b?0分别是f(x)，g(x)的最高次项系数，则ab为f(x)g(x)的最高次项系数。从而由(*)知，ab?0即是R的零因子，这R与无零因子矛盾。
因此，当R无零因子时，R[x]也没有零因子。 30． 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。
证明：如果的每一个不等于零的元的阶都是无限大，那么定理是对的。假定的某一个元
的阶是有限整数，而是的
另一个不等于零的元。由 以 的阶阶。
的阶；同样可得，的阶
，可得 的阶。所以的阶
，所的
31、设f：R?R是环R到环R的同态满射，求证：f是R到R的同构当且仅当f的核是R的零理想。
证明：由于f为同态满射，故f为同构当且仅当f为单射，从而只须证明f为单射当且仅当f的核是R的零理想． 若f单射，则由f(0)＝0知f的核是{0}。
反之，若f的核是{0}，对任意x、y∈G，若f(x)＝f (y)，则f(x-y)＝0即x-y∈Kerf={0}，故x-y＝0即x= y，f为单射。 32． 如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。 证明：假设n不是素数，
，但
这与环R无零因子矛盾。
33、求证：若a生成一个n阶循环群G，k与n互素，则a也生
k
成G。
证明：只须证明a的阶是n．
k
设a的阶是r，e是G的单位元。由于a的阶是n，故 (a)=a
k
k
n
k n
=e，知r整除n。
又由a的阶是r知a =(a) =e，而a的阶是n，故n整除kr．但
k
k r
kr
k与n互素，故n整除r，从而n等于r，即a的阶是n．
k
34． 设 为 的非空子集. 证明: 为 的子环的充分必要条件
时, 存在非负整数 , 使得
证明 (充分性) 设 (1) (2)
从而由定理知, 为 (必要性) 设 为
. 的子环. 的子环, 则
为
的子群. 因
. 则任给 ;
,
, 有
为无限循环群, 所以存在非负整数 , 使得
.
35、求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环 。
证明：不妨设R={0，a1，…，an-1}，a1，…，an-1不为0，R是一个没有零因子的有限环。由于R没有零因子，故a1，a12，…，a1n?1是R的n非0元，但R只有n-1个非0元，故必有i ii，a1ia1j?iak?a1iak． aka1j?ia1?aka1又由于R没有零因子，则aka1j?i?ak，a1j?iak?ak，知a1j?i是R之单位元，且a1是R之单位．同理，对任意的0?ak?R可有s
