17、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ ）
A、若a是零元，则b是零元 B、若a是单位元，则b是单位元
C、若a不是零因子，则b不是零因子 D、若R2是不交换的，则R1不交换 18、下列正确的命题是（ ）
A、欧氏环一定是唯一分解环 B、主理想环必是欧氏环 C、唯一分解环必是主理想环 D、唯一分解环必是欧氏环
19. 下列法则，哪个是集A的代数运算( ).
A. A=N, a?b=a+b-2 B. A=Z,a?b=a
bC. A=Q, a?b=ab
D. A=R, a?b=a+b+ab
20. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( ). A. x→-x C. x→?1
x B. x→1
x D. x→5x
21. 在3次对称群S3中，阶为3的元有( ).
A. 0个 C. 2个
B. 1个 D. 3个
22．剩余类环Z6的子环有( ).
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
23、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ ）
A.bc?1a?1； B.c?1a?1； C.a?1bc?1； D.b?1ca。 24、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
A.f的同态核是G1的不变子群; B.G1的不变子群的象是G2的不变子群。 C.G1的子群的象是G2的子群；
D.G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；
25、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果
H?6，那么G的阶G?（ ）
A.6； B.24； C.10； D.12。 （三）判断题（每小题2分，共12分）
1、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ）
2、除环中的每一个元都有逆元。（ ）
3、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（ ）
4、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（ ） 5、域是交换的除环。（ ）
6、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子。（ ） 7、设f：G?G是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f (a)的阶相同。（ ）
8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ） 9、循环群的子群也是循环群。（ ）
10、整环I中的两个元素a，b满足a整除b且b整除a，则a＝b。（ ）
11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（ ） 12、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。（ ）
13、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。（ ） 14、指数为2的子群不是不变子群。（ ）
15、在整数环Z中，只有±1才是单位，因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（ ）
16、两个单位?和??的乘积???也是一个单位。（ ） 17、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。（ ） 18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。（ ）
19、整环必是唯一分解环。（ ）
20、在唯一分解环K中，p是K中的素元当且仅当p是K中的不可约元。（ ）
21、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（ ）
22、整数环Z和环Q?x?都是主理想环。（ ） 23、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。（ ） 24、整数环Z、数域P上的一元多项式环P?x?和Gauss整环（ Z?i?都是欧氏环。
）
25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（ ）
26、欧氏环?主理想环?唯一分解环?有单位元的整环。（ ） 27、设环?R,?,??的加法群是循环群,那么环R必是交换环. （ ）
28、对于环R,若a是R的左零因子,则a必同时是R的右零因子. （ ）
29、剩余类Zm是无零因子环的充分必要条件是m为素数. （ ）
30、整数环是无零因子环，但它不是除环。（ ）
???0??31、S2????0??????C?是M2?C?的子域. （
???? ）
32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。（ ） 33、理想必是子环,但子环未必是理想. （ ）
34、群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等. （ ）
35、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。（ ）
三、基本方法与技能掌握。
（四）计算题 1．设
为整数加群,
,求 [Z:H]??
解 在 Z中的陪集有:
, ,
所以,
[Z:H]?5.
, ,
,
2、找出S3的所有子群。 解：S3显然有以下子群：
本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}； （（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}； （（123））={（123），（132），（1）} 若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。 3．求
Z18的所有子群。
