是R之单位元，故ak是R之单位．从而R是一个除环． 36． 设 为环. 证明 的中心
是 的子环. 证明 (1) 因为对任意 (2) 对
,
, ,
所以,
,
. 从而由定理2知,
为 的子环.
, 所以
. 故
.
37、设R是主理想环，a∈R，a≠0且(a)是R的最大理想，求证：a是R的素元。
证明：由于(a)是R的最大理想，故R?a?是域． 任意x、y∈R，若a整除xy，则[x][y]=[0]，这里[x]表示x所在的等价类，故[x] =[0]或[y]=[0]，即a整除x或a整除y，故a是R的素元． 38．环 的两个理想 与 的和 证明 (1) 设
,
与交 ,
都是 的理想.
. 则
且对任意的
,
所以,
为 的理想.
(2) 设
, 所以 . 故
39、证明：Z??, 则 , , 从而
,有 为 的理想.
, 且 , 且
. 又对任意的 . 从而知,
2i??是主理想环。
证明 令N是Z??2i??的任意一个理想，a是N
中绝对值最小的
一个非零元素，下证N??a?。
任取??N，显然
?/??Q[i]??a?bia,b?Q?,
令?/??r?si(r,s?Q).选取分别最接近r,s的整数m,n，即
10?r?m?,210?s?n?.
2 （1）
令??m?niZ[i].并由（1）得
?/????(r?m)2?(s?n)2?111???1. 442 （2）
现在令?????.?显然0?N.于是由（2）得
?????????/?????
但?是N中绝对值最小的非零元，故??0.从而
?????(?).，因此N?(?)。
40、证明：整数环上的多项式环Z?x?是一个唯一分解环。 证明
Z[x]的单位显然只有?1。又其不可约元为全体（正、负）
素数以及次数大于零的本原不可约（在Z上）多项式。今在Z[x]中任取f(x)?0,?1，显然f(x)可唯一表示成 f(x)?ag(x)(a?Z,g(x)为本原多项式），（1）
其中f(x)的最高系数为正整数。
若f(x)为本原的，则由高等代数知，f(x)可唯一分解成不可约多项式之积；若f(x)不是本原的，则由（1），a可唯一分解成素数之积，而g(x)可唯一分解为Z上不可约多项式之积（最多有符号差异）。从而f(x)可唯一分解成Z[x]内不可约元之积。因此，
Z[x]是唯一分解成整环。
41、试证在整环D?Z[3i]?{a?b3i|a,b?Z}中4不能唯一分解。 证明 为了证明4不是D的唯一分解元，先证明两个事实。 （1）D的一个元?是单位当且仅当?2?1。 设??a?b3i是D的一个单位，那么
????1，????1，
22而?2?a2?3b2是一个正整数，??2亦为正整数，所以?2?1。
反之，假定?2?a2?3b2?1，则有b?0，a??1，即???1，故?为单位。
（2）适合条件?2?4的元?一定是不可约元。
当?2?4时，??0，且由（1）知?也不是单位。设?为?的任
a,b?Z，????，??D，一因子，则有??a?b3i，那么?2?2??2?4，
这只有?2?1,2或4。但不论a,b是什么整数，都有?2?a2?3b2?2， 因此只有?2?1或4。
若?2?1，则?为单位； 若?2?4，?元。
2?1，则?为单位，因而????1?，即?为?的相伴
故?只有平凡因子，所以?为不可约元。 现在我们看4在D里的分解式
4?2?2?1?3i1?3i????，
2因
2?4，1?3i?4，1?3i?4，
22由（2）知2，1?3i，1?3i都是D的不可约元。而且1?3i，
1?3i都不是
2的相伴元，因此4有两种不同的分解式。
所以4在D里的分解不唯一，D?Z[3i]不是唯一分解环。 42、数域P上的一元多项式环P?x?是一个欧氏环。 证明：显然P?x?是一个有单位元的整环。
（1）令?:f(x)?f(x)的次数，则?是非零多项式集P[x]?到非负整数集的一个映射。
（2）由高等代数知在P?x?中任取
f(x)及
g(x)?0，存在
q(x),r?x??P[x]满足 f(x)?g(x)q(x)?r(x)，其中r(x)?0或r(x)的次数
??(r(x))?g(x)的次数??(g(x))。
因此P?x?关于?作成一个欧氏环。
43、证明 若K为欧氏环，则对任意a,b?K，a,b存在最大公因子
d且有s,t?K，使得d?sa?tb。
证明 设a、b均为0，则它们的最大公因子为0。
若a、b中至少有一个不为0，在欧氏环中，每一个非零元素?都有一个非负整数??x?，令d是集N??xa?ybx,y?K?中对应的非负整数最小元素，因此d能够写成d?sa?tb（对某个s,t?K），因
此r?a?hd?a?h?sa?tb???1?hs?a?htb?N。
因为d是N中元素对应的非负整数最小的元素，因此r?0，从而da同理db。如果
c|a ，c|b,则a?kc,b?lc,d?sa?bt?skc?tlc?(sk?tl)c,从而c|d，即d
为a,b的最大公因子。
44、若R环的特征为素数p,且R可交换,则有
?a?b?p?ap?bb, ?a,b?R. 证明 因R是交换环, 所以
p?22p?1?a?b?p?ap?c1pap?1b?c2b???cpabp?1?bp pa显然,当1?k?p?1时,我们有(k!,p)=1,又因
kkpc k!ck!,进而 ?????pp?1?p?k?1?pkcp, pp所以 ckpa?0.
于是 ?a?b?p?ap?bp.
45、证明Q?x?是主理想环。
证明 设A是Q?x?的任意理想，若A??0?，则A??0?。若A??0?，则在A中取一个次数最低的多项式f(x)，对?g(x)?A，有q(x)?Q[x]，
r(x)?Q[x]使得 g(x)?f(x)q(x)?r(x)，其中r(x)?0或?(r(x))??(f(x))。
因f(x)，g(x)?A ，所以r(x)?A，故r(x)?0。从而 g(x)?即A?(f(x))，因此Q?x?是主理想环。
f(x)q(x)，
