(3) 如果 , 那么 , 因此 , 从而得
为双射.即在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同. 8．有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.
证明 设G的元a的阶为n, 则a生成一个阶是n的子群，由以上定理，n整除G的阶。 9． 设 与
为群, 是 与
的同构映射, 则 为
的单位元;
为
的单
(1) 如果 为 的单位元, 则 (2) 任给 证明 (1) 因为 位元. (2) 任给 从而知
为 ,
的逆元. 所以, ,
为
的逆元, 即
由消去律知,
.
10．如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 证明 因为 为交换群, 所以 的每个左陪集 右陪集
.
, 那么
. . 如果
, 那, . 同理也就是
11． 设 为群 的子群. 若 证明 任给 么 与 同理,可证: 12． 设
, 如果
, 那么
是 在 中的两个不同的左陪集, 所以
.因为 . 从而
,
, 而 . 由此知 , 则
, 所以 . .
证明 (1)
的子群. (2) 任给
, , , 则所以, 为
, , 则
所以, , 从而 .
13．群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 证明 设 与 为 的两个正规子群, 群. 又任给
,
, 则 为 的子
, 则因为 与 都是 的正规子群, 所以 所以,
. 故 的同态映射. 是 在
的单位元; 中的逆元. 即
.
14． 设 与 是群, 是 到
(1) 如果 是 的单位元, 则 (2) 对于任意的
,
是
证明 (1) 因为 是 的单位元, 设 是 的单位元, 则
从而有消去律得: (2) 因为 从而可知, 15． 设 与 群, 则
是
.
.
是群, 是 到 的正规子群.
的满同态.如果 是 的正规子
证明 由定理知, 满同态, 所以存在
是 的子群. 又对任意的
. 从而
, 因为 是
, 使得
所以, 16． 设
是
的正规子群.
。 ，即
，
，的阶为，证明的阶是，其中
； 其次，若
，而
证明：首先，因为的阶为，所以阶是。
，故的
17． 设是循环群，G与同态，证明是循环群。 证明：设G＝()， 又 所以
。 ，存在
，使
，下证，
，
。
18． 证明循环群的子群也是循环群。 证明：设的正整数，下证 则
，设
，若
，H是G的子群，又设是属于H且指数最小
。 ，
故
，这与的取法矛盾，
。
，又假定的阶。
19． 假定和是一个群G的两个元，并且是，的阶是， 证明：一方面，
，则
同理，
；于是由
，有
，故，
，证明：
的阶是
； 另一方面，若
； 的阶是
。
20．假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群。
证明：
，
， ， 。
21．设 是一个环, 如果 有单位元, 则 的单位元是唯一的. 的单位元常记作 证明 设
都是 的单位元, 则
所以,
.
.
22、设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，将R的所有这样的变换构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。
证明 (1)(封闭性) ? f?a,b?,f?c,d??G ?x?R, 我们有:
f?a,b?f?c,d??x? ?f?a,b??cx?d??a?cx?d??b?acx??ad?b? ?f?ac,ad?b??x?.
由于a?0,c?0?ac?0
? f?ac,ad?b??G?G中元素是封闭的.
(2)(结合律)凡是映射的合成都满足结合律.故
G中的元素也满足结合律.
(3)(单位元)显然f?1,0??G是R的恒等变换?,由定
义2知f?1,0?必是G的单位元.
(4)(左逆元)? f?a,b??G 那么? a?0?1 a?0 故f??1aba??G 并且f?a,b?f?1a?ba??f?1a?b?f?a,b??? . a(这个等式可以验证)故知
?1f?a,b??f?1?b?f?a,b?. aa由上述?1???4??G??f?a,b??a,b?R,a?0?是一个R的变换群. 23．全体偶数
个没有单位元的交换环. 证明 (1) 任给
, 则
关于通常的数的加法与乘法构成一
