(2) Z12中的零因子为[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (3) Z11中没有零因子. 18.求二阶方阵环M2(R)的中心.
解 高等代数已经证明，n阶方阵A与任何n阶方阵可交换?A
??10??是纯量矩阵.因此M2(R)的中心 C??k??01??k?R?.
????19．举例说明，非零因子的象可能会是零因子.
解：设 ?:Z?Z6是环同态满射,其中:??n???n?.则显然Z是整环， 所以Z中没有零因子。但在 Z6中,?2? 和 ?3?、?4? 都是零因子.即 2显然不是Z中的零因子,但??2???2?却是Z6中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子. 20.设R为偶数环.证明：
N??4rr?R??R.
问：N?4是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？ 解： ?4n,4m?N,n,m?R： 4n?4m?4(n?m)?N,?n?m?R 故(4n?4m)?N,另外?n?R,?4r?N,r?R
(4r)n?4(rn)?N,?rn?R
n(4r)?(n4)r?(4n?)r?4(n?r)?N,?n??R?n?r?R,4rr?R??R.另方面，由于 故n(4r),(4r)n?N.总之有N??N??4rr?R????,?16,?8,0,8,16,??,
且4?N.而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即
N??4rr?R??8??8r?8nr?R,n?Z???8nn?Z?，但是
? 4??4r?4nr?R,n?Z???4nn?Z????,?8,?4,0,4,8,?因此，N?4.实际上是N?8?4. 21、举例说明，素理想不一定是极大理想。
解 例如Z?x?是有单位元的交换环，容易证明?x?是它的一个素理想.而理想?x,2?真包含?x?且?x,2??Z?x?.从而知?x?是Z?x?的素理想但不是极大理想.
22、设H?{(1),(12)},求S3关于H的所有左陪集以及右陪集. 解 S3?{(1),(12),(13),(23), ,(123),(132)}H的所有左陪集为:(1)H?(12)H?{(1),(12)}?H;
(13)H?(123)H?{(13),(123)};(23)H?(132)H?{(23),(132)}． H的所有右陪集为:H(1)?H(12)?{(1),(12)};
H（13）?H(132)?{(13),(132)};H(23)?H(123)?{(23),(123)}.
四、综合应用能力。
（五）证明题 1．在群 中, 对任意 证明 令
, 那么
, 方程
, 故
,则 .
这就证明了唯一性.
同理可证另一方程也有唯一解.
与
都有唯一解. 为方程
的
解。 又如 为 的任一解, 即
2．全体可逆的 阶方阵的集合 ()关于矩阵的乘法构
成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵
.
每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵 证明 (1) 设
都是 阶可逆矩阵, 则 . 所以
法是
的代数运算;
的乘法也满足结,
, 从而 .
也是 阶可逆矩阵. 这说明矩阵的乘
(2) 因为矩阵的乘法满足结合律, 所以 合律;
(3) 设 为 阶单位矩阵, 则 的
, 有
所以, 是 (4) 设 矩阵, 则 所以 的逆矩阵
的单位元. , 则 , 故 为 在
时
, 故
, 且对任意
. 从而 可逆, 设
, 且 中的逆元. 因此,
为 的逆
.. 构成
群. 由矩阵的乘法易知, 当 是非交换群.
3． ，
。那么H是S3的一个子群。
证明 I.H对于G的乘法来说是闭的，
(1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)； II.结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对； IV.
；
V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。
4．一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：
证明 必要性。H是G的非空子集且H的每一个元素的阶都有限。若H是子群，则由子群的条件必有?a,b?H?ab?H;
?ab?H;又
充分性。由于H是G的非空子集，若?a,b?HH的每一个元素的阶都有限
??a?H,?n?N,?an?e?aan?1?e?a?1?an?1?H， 综上知H是G的子群。 5． 设
是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.
是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 是
的子群.
的行列式为 1, 所以
, 则
非空. 又对
证明 首先, 单位矩阵 任一 阶方阵 , 如果
, 所以 可逆, 故
是 所以 这说明
的子集. 又对任意的
.
. 从而由定理知,
是
, 有 ,
的子群.
6．群 的任何两个子群的交集也是 的子群. 证明 设 (1) (2) 任给
;
(3) 任给 所以
, 那么
. 从而由定理2知,
, 因此
是 的子群.
,
为 的两个子群, 则
, 所以
, 则
, 即
; , 因此
7． 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
证明 设 , 分别表示 在 中的左、右陪集所组成的集合. 令
,
.
则 是 到 的双射. 事实上 (1) 如果
, 那么
, 故
, 所以,
. 于是, 为 到 的映射.
(2) 任给
, 有
, 因此, 为满射.
