解 Z18的子群有 ;
;
; ;
;
.
4． 将 表为对换的乘积.
解 .
容易验证:
(4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).
5． 设按顺序排列的13张红心纸牌
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9
问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?
解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 意知, 第一次洗牌所对应的置换为
则3次同样方式的洗牌所对应的置换为
由题6． 在 Z6中, 计算:(1) 解 (1) (2) (3) (4) 7．试求高斯整环 解 设 使得
(, 于是
; ; ; .
;(2) ; (3) ; (4) .
的单位。 ) 为
的单位, 则存在
,
因为
, 所以
. 从而
,
, 或
. 因此可能的单位只有
显然它们都是
的单位. 所以
8． 试求Z12中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素.
解 由定理可知: (1) (2) 为
,
,
,
.
为
为
Z12的全部零因子.
恰有四个单位:
Z12的全部可逆元.
直接计算可知, 相应的逆元
9、找出模6的剩余类环Z6的所有理想。 解：R={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}。
若I是R的一个理想，那么I一定是加群R的一个子群。但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群， 我们有
G1=（[0]）={[0]} G2=（[1]）=（[5]）=R G3=（[2]）=（[4]）={[0]，[2]，[4]} G4=（[3]）={[0]，[3]}
易见，G1，G2，G3，G4都是R的理想，因而是R的所有理想。 10． 在
Z12中,
解下列线性方程组:
解:
?x??35???y?????2?1???????1?6?1??1?5??6??11???1????13???23????1?????9?? ????????即 , .
11．求 Z18的所有子环. 解 设 为
Z18的任一子环,
则 是
Z18的子加群,
而 ,
为, 使
有限阶循环群, 从而 得
也是循环群, 且存在
. 的可能取值为1, 2, 3, 6, 9, 12。相应的子加群为
,
,
, , , .
直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所
以它们都是 Z18的子环. 于是 Z18恰有6个子环:
12. 试求 解 设 为
的所有理想.
的任意理想, 则 为
,
对任意的
, , 且
, 有 ,
从而由理想的定义知,
为 且
的理想. 由此知, .
的全部理想为
.
的子环， 则
13、数域F上的多项式环F?x?的理想(x2?1,x5?x3?1)是怎样的一个主理想。
解 由于?x5?x3?1??x3?x2?1??1，所以1??x2?1,x5?x3?1?，于是得
?x2?1,x5?x3?1???1??F[x]。
14、在 解
中, 求 的全部根.
, 将它们分别代入
,可知
共有16个元素: , , ,
共有下列4个元素
, , ,
为
的根.
15．试举例说明，环R?x?中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个
m+n次多项式.
解 例如，环Z6?x?中多项式
f(x)?2x3?x2?3x?5 与 g(x)?3x2?1
的乘积f(x)g(x)?3x4?x3?4x2?3x?5就不是3+2次多项式. 16.求出域Z3上的所有2次不可约多项式.
解 经验算得知，Z3上的2次不可约多项式有三个，它们是： x2?1,x2?x?1,x2?x?1.
17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子.
(1) 在M2(F)中.设A??1?-1?2??2 ?0 ?1 . ,B?，C??????0?0?2??0 ?1 ?4 (2) 在Z12中,它的全部零因子是哪些. (3) Z11中有零因子吗?
解 (1) ?|A|?|C|?0?A,C是零因子,但B不是.
