近世代数复习思考题
一、基本概念与基本常识的记忆
（一）填空题
1.剩余类加群Z12有_________个生成元.
2、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群. 4、设群G中元素a的阶为m，如果a系为———。
5. 模8的剩余类环Z8的子环有_________个. 6.整数环Z的理想有_________个. 7、n次对称群Sn的阶是——————。
?8、9-置换??123456789???分解为互不相交的循环之积是—543961827??n?e，那么m与n存在整除关
———。
9.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.
10. Z24中的所有可逆元是：__________________________. 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。 12. 设G?(a)为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G同构于___________，（2）若a的阶为n，则G同构于____________。 13. 在整数环Z中，2?3=__________________； 14、n次对称群Sn的阶是_____.
15. 设A1,A2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件为___________。
16、除环的理想共有____________个。 17. 剩余类环Z5的零因子个数等于__________.
18、在整数环Z中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z7的可逆元有__________个.
20、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I的单位是__________.
22. 剩余类环Zn是域?n是_________.
23、设Z7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.
24. 设G为群，a?G，若a?12，则a8?_______________。 25、设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =___.
26. 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个. 27、整数环Z的商域是________. 28. 整数加群Z有__________个生成元.
29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么RI是一个域当且仅当I是————————。 30. 已知????12345??1?为S5上的元素，则?＝__________。
?31254?31. 每一个有限群都与一个__________群同构。
32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是——————。
二、基本概念的理解与掌握。
（二）选择题
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。
A.2 C.7
B.5 D.10
2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射
?：x→x＋2，?x∈R，
则?是从A到B的（ ） A.满射而非单射 C.一一映射
B.单射而非满射 D.既非单射也非满射
3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。 A.2 C.6
B.4 D.8
4、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( ) A 5； B 6； C 7； D 9. 5、下面的集合与运算构成群的是 ( ) A {0，1}，运算为普通的乘法；
B {0，1}，运算为普通的加法; C {-1，1}，运算为普通的乘法； D {-1，1}，运算为普通的加法; 6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )
A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立; C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元; 7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( ) A 在环的同态满射下，理想的象是理想; B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想; C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想 D 环的最大理想就是该环本身. 8.整数环Z中，可逆元的个数是( )。 A.1个
?
b???cd????B.2个 C.4个 D.无限个
??a9. 设M2(R)=???? a,b,c,d∈R，R为实数域??按矩阵的加法和
乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环 10. 设Z
?a?2,当a为偶数时是整数集，σ(a)=?a?1
?,当a为奇数时?2 ，a?Z，则σ是R的
( ).
A. 满射变换
B. 单射变换
C. 一一变换 D. 不是R的变换
11、设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射
作成A到A的一个子集 的同态满射的是( ). A、x→10x B、x→2x C、x→|x| D、x→-x . 12、设?是正整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ ）
A、不适合交换律 B、不适合结合律 C、存在单位元 D、每个元都有逆元. 13.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4. 14、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）
A、0和?x； B、1和0； C、k和x?2k； D、?k和?(x?2k) 15、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果H?6,那么G的阶G?（ ）
A、6 B、24 C、10 D、12 16.整数环Z中，可逆元的个数是( ).
A、1个 B、2个 C、4个 D、无限个。
