总计，共有21＋21＋6＝48个三角形.
14．甲、乙两车相向在平行轨道上行驶，当从甲车某个窗口看乙车时，从看到车头到车尾通过，要经过200米的距离，而这200米的距离是以两车速度之和来通过的，是个相遇问题.
设甲、乙两车速度和为u米/秒.甲车上某乘客从
15．设甲、乙两地距离为S千米.某人由甲地
所以某人从甲→乙→甲往返一次的平均速度
16．根据定义，＜n＞表示不是n的约数的最小自然数.我们可以求得： ＜19＞＝2，＜98＞＝3 ∴ ＜19＞×＜98＞＝2×3＝6 ＜＜19＞×＜98＞＞＝＜6＞＝4.
17．设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个蓝球. 依题意列得方程组：
①×3－②得2x＋y＝9,即 y＝9－2x. 由于y是非负整数，x也是非负整数.
易知 x的最大值是4.即小明摸出的10个球中至多有4个红球. 所以阴影的总面积为
19．方程（3a＋2b）x＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，则
2
20．设出发时甲速度为a米／分，乙速度为b米／分.第15分甲提高的速度为x米／分，所以第15分后甲的速度是（a＋x）米／分.依题意，到第15分时，乙比甲多跑15（b－a）米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，所以
（a＋x－b）×3＝15（b－a） ①
接着甲又跑了5分（即第23分钟），已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，所以
（a＋x－b）×5＝400 ②
到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米
解①，②得b－a＝16米/分，x＝96米／分. 代入③a＝384米／分，所以b＝400米／分.
乙是一直以400米／分的速度跑完10000米的，所以乙跑完全程所用的时间是25分. 21．设这23个彼此不同的正整数为a1,a2,?,a23，并且它们的最大公约数是d，则
a1?db1,a2?db2,?,a23?db23,依题意，有
4845?a1?a2???a23?d?b1?b2???b23?.
?b1,b2,?,b23也是彼此不相等的正数
?b1?b2???b23≥1?2???23?276. 因此4845?d?b1?b2???b22?b23?≥275?d ?d≤
484551?17，又因为4845?19?17?15，因此d的最大值可能是17 27592 当a1?17,a2?17?2,a3?17?3,?,a22?17?22,a23?17?32时得
a1?a2???a22?a23?17?1?2???22??17?32?17?253?17?32?17?285?4845而?a1,a2,?,a22,a23?=17，所以d的最大值等于17.
22．?a?在平面上画三条平行的直线m1,m2,m3，再画另三条平行的直线n1,n2,n3， 使它们与前一组平行线相交。
?b?在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与 另外三条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线， 其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点，所以每条直线 上恰有另三条直线交得的三个不同的交点，七条直线共3?7?21个交点，但每个 交点分属于两条直线，重复计数一次，所以这七条直线交点点数为
21?10.5个， 2这与交点个数为整数矛盾。所以满足题设条件的七条直线是画不出来的。
1999年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：
一、选择题 1.根据相反数的定义,
11的相反数是-,选(C).
199919992.由绝对值定义│x-a│≥0,│y-b│≥0,│z-c│≥0.而已知│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,
当且仅当│x-a│=│y-b│=│z-c│=0,即x=a且y=b且z=c.已知a, b,c均为负数,则x,y,z均为负数,因此xyz是负数.选(A).
3.如图8,∠AOC=∠BOC=90°,但∠AOC与∠BOC不是对顶角,排除(A).
如图9,a∥b,同旁内角∠1+∠2=180°,但∠1与∠2并非互为邻补角,排除(B).
两点之间最短距离是连接这两点的线段,不能表述为过这两点的直线,排除( C).因此应选(D).事实上,(D)正是两条直线互相垂直的定义.
C1aAO(8)B2b(9)
4.由图10可见c
1111? ① 0?? ② a?ca?ba?cb?c1111? ③由②有0?? ④ 由①有 0?c?ab?ac?ac?b11?0 及④可知应排除(A).由?0及③可知应排除 由②知,应排除(D),由
a?bb?c0?(C), 肯定(B),所以应选(B).
5.7-a的倒数是
11111???2. ,的相反数是-.依题意列方程:
7?a7?a7?aa?7a?7 解得:a=6.5,选(D)
11800??6.设这个角为a,a的补角等于180°-a,其为,依题意它是6°,
17171800??所以=6°. 解得α=78°.选(B).
17a2223
7.由ac<0,可知a≠0,c≠0,a,c符号相反.所以<0,而a>0,c>0,因此a·ac<0,ca<0,且
ccac<0,ca<0.
22
若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a·c=1>0;若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a·c=1>0;
22
可见,ac<0,ac<0 不一定成立. 所以ac<0时,只有
2
3
a33
<0,ca<0,ca<0 三个不等式必然成立.选(C). c8.不超过1000的所有质数中包含质数2与5,所以不超过100的所有质数的乘积个位数字是0.不超过60的个位数字是7的质数只有7,17,37,47四个,其乘积的末位数字是1,所以,不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的个位数字为7 的所有质数的乘积所得差的个位数字为9.选(D). 9.①当0≤a≤2时,
│a-2│+│3-a│=2-a+3-a=5-2a≤5,当a=0时达到最大值5. ②当2
│a-2│+│3-a│=a-2+3-a=1 ③当3
│a-2│+│3-a│=a-2+a-3=2a-5≤2×4-5=3.当a=4时,达到最大值3.
综合①、②、③的讨论可知,在0≤a≤4上,│a-2│+│3-a│的最大值是5,选(B). 10.a1,a2,…,an 是n个互不相同的负整数,其中n是奇自然数.
若a1=-1,a2=-2,a3=-3,…,an=-n,时
n
,(a1-1)(a2-2)…(an-n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1)2×4×6×…×(2n)<0(因为n是奇数),故排除(B).
?1???1??1??1?1?=0,故??1???2???n??0,排除(C).故选(D). ?a1??a1??a2??an?111实事上,若a1<0, a2<0,…, an<0,则??0,??0,,??0,
a1a2an111所以1??0,2??0,,n??0,
a1a2an若a1=-1时,?所以?1???1??1?2????a1??a2??1?n???>0,故选(D).
an??二、填空题
11.图中,长为1厘米的线段共4条,长为2厘米的线段共3条,长为3 厘米的线段共2条,长为4厘米的线段仅1条.
图中所有线段长度之和为 ACEBD 1×4+2×3+3×2+4×1=20(厘米).
1?12??123??1234?12.设s=????????????????2?33??444??5555?2?1?????5050(11)?4849???, 5050?又s=
1?21??321??4321??4948???????????????????2?33??444??5555??5050?1??, 50?相加得 2s=1+2+3+4+…+49, 又 2s=49+48+47+…+2+1,
相加得 4s=50×49=2450,故 s=612.5
13.根据题意画图,如图12所示.连接AC交BD于O,则△ABO的面积等于△CBO 的面积,△APO的面积等于△CPO的面积.因此,△ABP的面积等于△CBP的面积,所以由△APB面积是2平方厘米,可知△CBP面积是2平方厘米.而BM是△CBP的一条中线,三角形中线平分三角形的面积,所以△BCM的面积等于1平方厘米.
14.由于五位数538xy能被3,7和11整除,可知3×7×11=231整除538xy. 试除知 231×230=53130
DA 231×231=53361
231×232=53592 231×233=53823
2PM 231×234=54054
22
可见x=2,y=3.x-y=4-9=5. CB(12)15.如图13:∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD
=2∠MOB+∠BOC+2∠CON D =2(∠MOB+∠BOC+∠CON)-∠BOC N =2∠MON-∠BOC
C
=2×50°-10°
10?B
=90° O
b43M16.易知a(bc+1)=2000=2×5.
b(13)A 若a=5,则bc+1=400, b
∴bc=399=3×133=3×7×19
无论c=3,7或19都不能求得质数b,故a≠5.
b
只能取a=2,此时bc+1=1000,
b3
∴ bc=999=3×37,则b=3,c=37, 因此,a+b+c=2+3+37=42.
17.所求五位数能被3、5、7、13整除,当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数.
通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645. 但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出 72×1364=98280(两个8重复,不合要求). 71×1365=96915(两个9重复,不合要求). 70×1365=95550(三个5重复,不合要求). 69×1365=94185(五个数码不同). 因此,所求的五位数最大的是94185.
18.已知A、B两港相距300公里,甲船速为27公里/小时.设乙船速为v公里/ 小时,小流速为x公里/小时,则甲船顺水速为(27+x)公里/小时,逆水速为(27-x)公里/小时.乙船顺水速为(v+x)公里/小时,逆水速为(v-x)公里/小时.
甲船自A顺水,乙船自B逆水同时相向而行,相遇在C处时间为:
300300?
(27?x)?(v?x)27?v同理,乙船自A顺水,甲船自B逆水同时相向而行,相遇在D处所需时间为:
300300?
(27?x)?(v?x)27?v 可见,两个时间相等.
