?D??V1n?V?D?1?4 ?h?V?V?0.351mm 2n?Vn?D?h查资料，可用分度值为0.10mm的游标卡尺测高h?50mm，在50mm测量范围内的极限误差为
??V2?0.071mm
n?Dh?h??0.150mm，用0.02mm的游标卡尺测直径D?20mm，在20mm范围内的极限误差为?D??0.013mm。 用这两种量具测量的体积极限误差为：
2??V?2??V?2??Dh?2??D?23?V?????h??51.36mm ??D????h?????D????D???h??2??4?2222因为?V??51.36mm?157.08mm，说明选用这两种量具不够合理，需要进行调整，选用精度较低的量具。
显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为?0.08mm。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。
调整后的实际测量极限误差为：
???202??Dh?2??D2?222???20?50? ?V?????h??????0.08??128.45mm ???D?????0.08???2?2????4??4?22233因为?V?128.45mm?157.08mm，
因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。
33第六节 微小误差取舍准则
一、微小误差
测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可忽略不计的误差。
测量结果的标准差：
?y?22D12?D2???D(2k?1)?Dk2?D(2k?1)???Dn
22D12?D2???D(2k?1)?D(2k?1)???Dn '将其中的部分误差Dk取出后，?y?若有 ?y???y，则称Dk为微小误差，计算时可舍去。
二、基本取舍准则
（1）对一般精度的测量，测量误差的有效数字取一位，某项部分误差舍去后，满足
?y??y??0.1?0.05??y （3-57）
' 36
?y3 ) （3-58）则对测量结果的误差计算没有影响。整理上式得 Dk?(0.4~0.
因此满足此条件只需取： Dk??y （3-59） （2）对于比较精密的测量，误差的有效数字可取两位，则有
?y??y??0.01?0.005??y （3-60）
'13由此可得： Dk?(0.14~0.1)?y （3-61） 满足此条件只需取： Dk?1 ?y （3-62）
10结论：对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的110到13。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许总误差的110?310。对于已定系统误差，按1100?110原则取舍。
第七节 最佳方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素才能使测量结果的误差为最小，这就是最佳方案确定的问题。根据式（3-14）函数的标准差为：
??f???f?2??f?22 ?y???????????n。若使?y为最小，可以从以下几方面来考虑。 ?1??2??x1???x2???xn?一、选择最佳函数误差公式
一般情况下，间接沉雷昂中的部分误差项数愈少，则函数误差也会愈小，即直接测量值的数目愈少，
则函数误差也愈小。所以应选取包含直接测量值最少的函数公式。
若不同函数公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差较小的直接测量值的函数公式。如测量零件几何尺寸时，在相同条件，测量内尺寸的误差要比测量外尺寸的误差大，应尽量选择包含外尺寸的函数公式。
[例3-8] 书上?75。略
222二、使误差传递系数等于零或为最小
由函数误差公式（3-14）?y????f???f???f?222?????????xn ?x1??x2??x1???x2???xn??f?0或为最小，则函数误差相应减小。 ?xi222若使各测量值对函数的误差传递系数
37
若
?f?f?0，则该项部分误差Di?()?i也将为零，即该测量值的误差?i对函数误差没有影响。
?xi?xi?f为最小，则可减小该项部分误差Di对函数误差的影响。 ?xi?f等于零的测量条件，但却指出了达到最?xi若
根据这个原则，对某些测量实践，尽管有时不可能达到使佳测量方案的趋向。 [例3-9] 书上?76
略 38
第四章 线性参数的最小二乘法处理
教学目标：掌握最小二乘法的基本原理，以及在组合测量问题的数据处理中的应用 教学重点和难点： ? 最小二乘法原理 ? 线性参数的最小二乘法 ? 非线性参数的最小二乘法
最小二乘法分为：经典最小二乘法（代数法）； 矩阵最小二乘法
第一节 最小二乘法原理
为确定t个不可直接测量的未知量X1,X2,?,Xt的估计量x1,x2,?,xt，可对与该t个未知量有函数关系的直接测量量Y进行n次测量，得测量数据l1,l2,?,ln，并设有如下函数关系：
Y1?f1?X,1X,?2,Xt??? Y2?f2?X,1X,? ,X?2t? （4-1）
???Yn?fn?X1,X2,?,Xt??? 若n?t，则可由上式直接求得未知量X1,X2,?,Xt，由于测量数据包含测量误差，所求得的结果
x1,x2,?,xt也必定包含一定的误差。为提高所得结果的精度，适当增加测量次数n，以便利用抵偿性减小
随机误差的影响，因而一般取n?t，但此时则不能利用方程组（4-1）直接求得x1,x2,?,xt。在这种情况下，怎样由测量数据l1,l2,?,ln获得最可信赖的结果x1,x2,?,xt？最小二乘法原理指出最可信赖值应在使残余误差平方和
??V?最小的条件下求得。
2i 设直接量Y1,Y2,?,Yn的估计量分别为y1,y2,?,yn，则有如下关系：
y1?f1?x1,x2,?,xt??? y2?f2?x1,x2,?,xt?? （4-2）
???yn?fn?x1,x2,?,xt???而测量数据l1,l2,?,ln的残余误差应为：
39
v1?l1?y1? v2?l2?y2?? （4-3）
???vn?ln?yn??v1?l1?f1?x1,x2,?,xt???即： v2?l2?f2?x1,x2,?,xt?? （4-4）
???vn?ln?fn?x1,x2,?,xt???式（4-3）（4-4）称为误差方程式，也可称为残余误差方程式（简称残差方程式）。
若l1,l2,?,ln的测量误差是无偏的（即排除了测量的系统误差），相互独立的，且服从正态分布，并设其标准差分别为?1,?2,?,?n，则各测量结果l1,l2,?,ln出现于相应真值附近d?1,d?2,?,d?n区域内的
?i21exp(?2)d?i i?1,2概率为： Pi??,n,
2??i2?i由概率乘法定理可知，各测量数据同时出现在相应区域d?1,d?2,?,d?n的概率为：
?1???2?1ni?? P??pi?exp?(d?)???n2i??i???i(2?)?i???i根据最大豁然原理，由于测量值l1,l2,?,ln已经出现，因而有理由认为这n个测量值同时出现于相应的区间d?1,d?2,?,d?n的概率P应为最大。即：待求量的最可信赖值的确定，应使l1,l2,?,ln同时出现的概率P为最大。要使P最大，应满足：
?n2?12?22 2?2??2?min
?1?2?n由此给出的结果只是估计值，它们以最大的可能性接近真值而非并真值，因此上述条件应以残余误差的
形式表示，即
v12?21?v22?22??vn2?n2?min
引入权的符号p，由式（2-42）可得
pv?p2v2???pnvn?在等精度测量中： ?1??2????n
40
211222pv ?ii?min （4-5）i?1n
