? 算术平均值 ? 贝塞尔公式 ? 试验标准差
? 测量结果的最佳估计
定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的方式变化的（但具有统计规律的）测量误差
—随机误差。（在等精度测量条件下）
一、随机误差产生的原因
1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形，零件表面油膜不均匀，摩擦等。 2、环境方面：温度、气压、，光照强度、灰尘及电磁场变化。 3、人员方面：瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。
二、随机误差的统计特性—正态分布
多数随机误差服从正态分布，有以下四个特征；
1、对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。 2、单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。
3、有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。 4、抵偿性：随着测量次数增多，随机误差的算术平均值趋于零。
服从正态分布的随机误差具有上面四条特征。由于多数随机误差都服从正态分布，所以正态分布在误差理论中占有较重要的地位。 随机误差的正态分布规律： 设被测量的真值为L0，一系列测得值为li。则测量列中的随机误差?i为
?i?li?L0 （2-1）
式中i?1,2,?n。
1e 正态分布密度f???和分布函数F???为 f?????2?1记为N?0,?? F?????2?2??2?2??2 （2-2）
????2??e?2??2d? （2-3）
?（一般F?x??p?x?X??
?X??，在???,??内概率p??f???d??1。） f?x?dx）
??。。 ?—标准差（方均根误差） e—自然对数的底=2.7182。 它的数学期望为 E?它的方差为
????? ?f???d??0 （2-4）
?2???2f???d? （2-5）
????其平均误差为 ??此外由
????? ?f???d??0.7979??? （2-6）
245????f???d??1 26
可解得或然误差为 ??0.6745??2 ? （2-7）
3正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。
?—曲线上拐点A的横坐标 ?—曲线右半部面积重心B的横坐标 ?—右半部面积的平分线的横坐标。
三、算术平均值
1、公理：一系列等精度测量，则 ?i?li?L0。 L0—真值 随机误差的代数和：
?????l?L???l?nLii0ii?1i?1i?1nnn0 （2-8）
L0??l???ii?1i?1nnin
根据正态分布随机误差的对称性，当n??，
nn????i?0
所以 ???x??li?1in?L0 即无限多次测量的算术平均值即为真值。
2、残差：但有限次测量的算术平均值真值是有误差的，只能近似真值。
?? Vi—li的残余误差 （2-9）x 残余误差=测量值—平均值 即 Vi?li??
残余误差的代数和：
???xx?????l?n?V???l????iiii?1i?1i?1i?1nnnni l??il0?i?1n即残余误差的代数和等于零，即3、算术平均值的简便算法：
?V与次数无关，而??ii?1i?1nni?0必须n??，即与测量次数有关。
任选一个接近所有测得值的数l0。计算?li?li?l0
???x?n?l??lii?1nn0??li??l0?n?i?1??li?1ninn
令????x0???li?1inx?l0?????x （2-10）， 则 ???
[例2-1]测量某物理量10次，结果见表，求???x
?? x 序号 li ?li?li?l0 Vi?li??
7
1 1879.64 -0.01 0 2 1879.69 0.04 +0.05 3 1879.60 +0.05 -0.04 ? ? ? ? 10 1879.65 0 +0.01
x0列于表中，很容易求得算术平均值???任选参考值l0=1879.65，计算?li和????x=1879.64
4、算术平均值的校核方法： 因为
?Vi?1ni?0，所以可以根据残差代数和的性质来校核???x和Vi。但是根据有效数字，数据运算和
数字舍入规则，在计算???x时，在小数位数较多或除不尽的情况下，对???x进行凑整，所以实得的???x可能为
经过凑整的非准确数，存在舍入误差?。
?n?ll?i??i?nni?1i?1????????n??0。 校核规则为： x???，而?Vi??li?n?n?n?i?1i?1????（1）
n?V应符合：
ii?1nn当
?li?1ni???，求得的??? （2-11） ?nxx为非凑整的准确数时，?Vi?0；
i?1n当
?li?1ni???，求得的????nxx为凑整的非准确数时，??0，则?Vi?0；
i?1nn当
?li?1ni???，求得的????nxx为凑整的非准确数时，??0，则?Vi?0。否则有误；
i?1（2）
?Vi?1i应符合：
当n为偶数时，则
?Vi?i?1nnnA； 2 当n为奇数时，则
?n?V?x 末位数的一个单位。 ?i??0.5?A； A为????2?i?1 多数情况下用规则（2）来校核。
[例2-2] 用例2-1数据，对计算结果进行校核。
因为n为偶数，
n10??5 A=0.01 22n由上页表可知
?Vi?0?i?1nA?0.05，故计算结果正确。 28
[例2-3] 测量某直径11次，结果如下，求???x并进行校核。 序号 limm Vimm 1 2000.07 +0.003 2 2000.05 -0.017 3 2000.09 +0.023 ? ? ? 11 2000.07 +0.003
?li?111i?22000.74
?V?0.003
ii?1n解：算术平均值???x??li?1nin?1122000.74?2000.0673，取x?2000.067mm。
11????11?2000.067?22000.737 ?22000.74mm?nx11 用（1）校核则有：
?li?1nii
说明结果正确。 用（2）校核则有：
11x?22000.74?22000.737?0.003mm ?V??l?11???ii?1i?1n11?0.5??0.5?5，A=0.001mm。 22 也说明正确。
?n?V?0.003mm??i??0.5?A?0.005mm
?2?i?1四、测量的标准差（方均根误差）?
（一）测量列中单次测量的标准差
1、方差：
定义：等精度测量列无穷多个随机误差平方的平均值。
?2???2f???d??Vax????D???
???2、标准差：
2 定义：方差的正方根称为标准差。 ????D??? 3、方差与标准差的意义：
若一列等精度测量符合正态分布，即密度函数。f????
1e?2???22?2
因为?越小，则e的指数的绝对值越大。最大密度函数值越大，则钟形曲线越尖瘦，即可能产生的随机误差的最大值越小，任一单次测得值对???x的分散度就小，9 测量精度高（如1）。反之，?越大，测量的精度低，如（3）
因此?是表征同一被测量n次测量的测得值分散度的参数。可作为单次测量不可靠性的评定标准，是说明随机误差的主要特征的量。
?????2???nn2122???i?1n2in （2-12）
n—测量次数 ?i?li?L0（真值）
??代替真值误差?i。从而得到标准差的估计值。由L0（真值）未知时，可用残余误差Vi?li??x?i?li?L0得：（推导贝塞尔公式）
???????L0?V1???x?1?l1??xx??
???????L0?V2???x????2?l2??xx?? （2-13）????x?x?L0。 x为算术平均值的误差。???? ? ? ?
???????L0?Vn???x?n?ln??xx??
（2-13）式相加
??i?1ni??Vi?n??x??? ?????xi?1n??i?1nin?n?V??ii?1nnin?i?1n （2-15）见（2-11）
（2-13）式平方后相加
??i?1n2i??Vi?n?2i?1n2???x22?2??x ???Vi??Vi?n????x （2-16）
i?1i?1n将（2-15）式平方 ????x2?n???i??i?1?n??ij???????2??i?1n2i2??i?j?1?i?jnn2n2
当n适当大时，可认为
???i?1n趋近于零，并将????x代入（2-16）得
n2??i?1n2i??Vi2?i?1n??i?12in?n?2
10
（2-17）
由式（2-12）可知
??i?1n2i
