（2）线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差值成比例地增大或减小。
（3）周期性变化的系统误差：在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按周期性规律变化的。
（4）复杂规律变化的系统误差：在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按确定的更为复杂的规律变化。
a：不变系统误差 b：线性变化的系统误差 c：非线性变化的系统误差 d：周期性变化的系统误差 e：复杂规律变化的系统误差
三、系统误差的发现
（一）实验对比法（适用于不变的系统误差）：
改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量。 （二）残差观察法（适用于发现有规律变化的系统误差）：
根据测量列的各个残差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。若有测量列l1,l2?ln，它们的系统误差?l1,?l2??ln，它们不含系统误差的值为l1,l2?ln。 则有l1?l1??l1，l2?l2??l2 ?，ln?ln??ln。
''''''???????????。 它们的算术平均值为?xxx???Vi，li??????为系统误差的算术平均值。 x?Vi ??x因为li??x??? （2-82）x故有： Vi?Vi???li???
'''''?? （2-83）x若系统误差?随机误差，Vi可忽略，则 Vi??li???
结论；任一测量值的残差为系统误差与测量列系统系统误差平均值之差
图（a）说明各残差大体正负相间，图（b）的残差数值有规律地递增，
无显著变化规律，故无根据怀疑有可且在测量开始与结束时误差符号相
变系统误差。 反，则说明存在线性递增的系统误
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'
（三）残差校核法：
1、用于发现线性系统误差。（马利科夫准则）
根据式（2-82），将测量列中前K个残差相加，后n-K个残差相加（当n为偶数，取；K?n2。n为奇数，K??n?1?2）。然后两者相减得差值?。 ???V??V??Viji?1j?K?1KKnK'i?i?1nj?K?1x?????l?V????l?????'jii?1j?K?1nKnj?????x?
当测量次数足够多时：
?Vi?1'i?ni?K?1?Vj'j?0
n得 ??x?????l?V??V????l?????iii?1j?K?1i?1j?K?1KKj?????x? （2-84）
若?显著不为0，则认为测量列存在线性系统误差。所以这种方法能有效地发现系统误差。?=0时，仍有可能存在系统误差，如含定值系统误差，其均值为0，则?=0。 2、用于发现周期性系统误差。（阿卑—赫梅特准则） 若有一等精度测量列，按测量先后顺序将排列为 v1,v2?,vn。如存在周期性系统误差，则相邻两残差的差值?vi?vi?1?，符号也将出现周期性的正负号变化。用统计准则。令
u?若u??VVi?1n?1ii?1?v1v2?v2v3???vn?1vn （2-85）
n?1?2，则认为该测量列中含有周期性系统误差。
（四）不同公式计算标准差比较法：
按Bessel公式 ?1??Vi?1n2in?1 17
按Peters公式 ?2?1.253?Vi?1nin?n?1?
令
?22，则怀疑测量列中存在系统误差。 （2-86） ?1?u，若u??1n?1（五）计算数据比较法：
对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条案件，否则可以认为存在系统误差。
????????x若对同一量独立测量m组结果，并知它们的???x和?i为?1?1,x2?2,?xm?m。而任意两组结果之差为 ?????xi????xj，其标准差为???i2??j2。则任意两组结果???xj间不存在系统误差的标志是： xi和???xi????xj?2?i2??j2 （2-87） ??? [例2-15]略
（六）秩和检验法
若独立测得两组数据为：xi i?1,2,?nx yj j?1,2,?ny
将它们混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测量值在混合后的次序9（秩）再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。
当两组测量次数n1,n2?10，可根据次数较少组的次数n1和较多的组的次序n2，由秩和检验表2-10（P14）查得T?和T?（显著度为0.05），若 T??T?T?，则无根据怀疑两组间存在系统误差。 （2-88） [例2-16]略
（七）t检验法（利用t分布进行的检验）
是一个判断组间是否存在系统误差的方法。
若独立测得两组数据（服从正态分布）为xi i?1,2,?nx yj j?1,2,?ny 令变量 t?x?y???nnxny?nx?ny?2??ny??nx?x?ny?y22x? （2-89）
式中：x?1nx?xi y?1ny?yi ?x2??1nx???xi?x ?y2??1ny??y?y?
i取显著度?，由t分布表（附录表3）查得Pt?t???中t?。若实测数列中算出之t?t?，则无根据怀疑两组间有系统误差。
[例2-17]略
上面介绍的七种方法分为两类，第一类（前四种）用于发现测量列组内的系统误差；第二类（后3种）用于发现各组测量之间的系统误差。
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四、系统误差的减小和消除
（一）从产生根源上消除系统误差
最理想的方法。它要求对产生系统误差的因素有全面而细致的了解，并在测试前就将它们消除或减弱到可忽略的程度。视具体条件不同，有：
（1）所用基、标准件（如量块、刻尺、光波波长等）是否准确可靠。 （2）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。 （3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。 （4） 所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。 （5） 测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等 （6） 测量人员主观误差，如视差习惯等。 （二）用修正的方法消除系统误差
预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。这种方法不可能将全部系统误差修正掉，残留的可按随机误差处理。 （三）不变系统误差消除法 1、代替法：
其实质是 在测量装置上测量被测量后不改变测量条件，立即用相应的标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与已知标准量的差值，即系统误差，取其负值即可作为被测量测量结果的修正量。即被测量=标准量+差值
[例] 等臂天平称重,先将被测量x放于天平一侧，标准砝码放于另
一 侧，调至天平平衡，则有 x?l2P l1由于l1?l2 （存在恒定统误差的缘故）
移去被测量x，用标准砝码Q代替，若该砝码不能使天平重新平衡，
如能读出使天平平衡的差值?Q，则有x?Q??Q。消除了天平两臂不等造成的系统误差。
2、抵消法：
该方法实质是进行两次测量，以使两次读数的系统误差大小相等，符号相反，取两次测值的平均值作为测量结果，从而消除系统误差。
3、交换法：
根据误差产生的原因将某些条件交换以消除误差。
例如：等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有
x?l2P。 若将x与P交换位置，由于l1?l2（在恒定统误l1差的缘故），天平将失去平衡 。原砝码P调整为砝码P??P??P，才使天平再次平衡。于是有P??
l2P?P?x。则有x?P?P??。 l1219
即可消除了天平两臂不等造成的系统误差。 （四）线性系统误差消除法—对称法
随着时间t的变化，被测量做线性增加，若选择某时刻为点，则对称此点的系统误差算术平均值皆相等。即
中
?l1??l5?l2??l4???l3。利用这一特点，将测量对称安22排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测量值，即可消除性系统误差。
（五）周期性系统误差消除法—半周期法
对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。周期性系统误差一般表示为：?L???sin?， 第一次测量：?l1???sin?1
第二次测量：?l2???sin??1???????sin?1???l1 取两次读数的平均值
线
?l1??l2?l1??l2??0 22仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心e引起的刻度示值误差呈周期性变化，即误差?L?e?sin?。如采用在相距半周期?的两个对径位置上读数取平均，即可有效地消除此误差 （六）复杂系统误差的消除方法
构造合适的数学模型，进行实验回归统计后，对该误差进行补偿和修正。显然比较困难，故常采用随机误差处理办法。
第三节粗大误差
教学目标：
本节介绍在测量前或测量后发现粗大误差，如果无法发现并剔除粗大误差，则又如何在测量数据处理中去减小他对测量结果的影响。通过本节的学习，可以在测量数据处理中知道如何发现并剔除粗大误差。 教学重点和难点：
? 粗大误差产生的原因 ? 3?准则
? 格拉布斯准则 ? 狄克逊准则
? 测量数据的稳健处理
一、粗大误差产生的原因
（1）客观外界条件的原因：机械冲击、外界震动、电网供电电压突变、电磁干扰等测量条件意外地改变 ，引起仪器示值或被测对象位置的改变而产生粗大误差
（2）测量人员的主观原因：测量者工作责任性不强，工作过于疲劳，对仪器熟悉与掌握程度不够等原因，引起操作不当，或在测量过程中不小心、不耐心、不仔细等，从而造成错误的读数或错误的记录
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