二、防止与消除粗大误差的方法
（1）加强测量人员培训，增强责任心 （2）保证测量条件稳定
（3）不同条件测量同一值（如两组人员、两台仪器、两种测量方法）相互比较
三、判别粗大误差的准则
（1） 3σ准则 （莱以特准则）（测量次数应充分大）
对某个可疑数据xd，若?d?xd?x?3? （2-90）
xd含有粗差，可剔除；否则予以保留。 ???Vi?1n2in?1?13?Vi2i
2在n≤10的情形，用3σ准则剔除粗差注定失效 xd?x??(x?x)?n?1?，取n≤10
xd?x?3?恒成立。因此本法测量次数应n?10，且越大越好。
[例2-18]略
（2）罗曼诺夫斯基准则（t检验准则）（测量次数较少时）
方法：首先剔除一个可以的测量值xj，计算余下的x、?，根据原测量次数n和选取的显著度?，查表2-12（?45）得t校验数K?n,??。
若xj?x?K?， （2-91）
则认为xj含有粗大误差，弃去xj，再继续上述步骤判断，否则xj不含粗大误差，应保留。 [例2-19]略 （3）格罗布斯准则
对某个可疑数据xd，若xd?x?G(?,n)?
?—贝塞尔公式计算的标准差 （2-92）
xd含有粗差，可剔除；否则予以保留。
[例2-20]略
（4）狄克松(Dixon)准则
?,x2?,...,xn?。 正态测量总体的一个样本x1,x2,...,xn，按从大到小顺序排列为 x1构造统计量： r10???xn??1xnx??x???21 n?3~7 与 r10??x1???x1?xnxn r11???xn??1xnx??x???21 n?8~10 （2-93） 与 r11
????xn?1?x1xn?x2 21
r21???xn??2xnx??x???21 n?11~1 3 与 r11??x2???1?x1?xnxn??xn??2xnx??x???31 n?14~3 0 与 r22??x3???2?x1?xnxn r22?若 rij?rij?,?为异常值。rij?rij?,rij??D(?,n)，则判断x1?为异常值。否则，rij?D(?,n) 则判断xn判断没有异常值。
四、总结
（1）大样本情形（n＞50），用3σ准则最简单方便；30＜n＜50情形，用Grubbs准则效果较好；3?n?30
情形，用Grubbs准则适用于剔除单个异常值，用Dixon准则适用于剔除多个异常值。
（2）在实际应用中，较为精密的场合可选用二三种准则同时判断，若一致认为应当剔除时，则可以比较放心地剔除；当几种方法的判定结果有矛盾时，则应当慎重考虑，通常选择，且在可剔与不可剔时，一般以不剔除为妥。
第四节 测量结果的数据处理实例
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
? [例2-22]（?50）修定该测量列不存在固定系统误差
1、求X
?0.01??0.003?0.004?0.05?0.003?0.02?0.02?0.01?X?24.775??24.7749?24.775
92、求残差 根据（2-9）求各测得值的残余误差Vi?li?X，并列入表中。 3、校核算术平均值及其残余误差
根据残余误差代数和校核规则，现用规则2进行校核，因 A=0.001mm n=9 由上表知
?n?V?0.001mm??0.5?i??A?4?0.001mm?0.004mm
2??i?19故以上计算正确。若发现计算有误，应重新进行上述计算和校核。
4、判断系统误差
根据残余误差观察法，又上表可以看出误差符号大体上正负相同，且无显著变化规律，因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。 若按残余误差校核法，因n=9，则 K?59n?1?5 2i ???V??Vii?1i?6???0???0.001???mm?0.001mm
因为差值?较少，故也可判断该测量列无系统误差存在。
5、求测量列单次测量的标准差
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Bessel： ???Vi?1n2in?1?n0.000069?0.0029mm 8iPeters： ??1.253'?Vi?1n?n?1??1.253?0.021?0.0031 9?8再用不同标准差公式计算法判断有无系统误差
?'0.0031??1.069?1?u u=0.069 ?0.0029因为u?0.069?2?0.707 所以同样可判断列中无系统误差。 86、判别粗大误差
因为n?9?10 所以不宜用3?准则，其他三种准则均可。现用格罗布斯法：排序有：
x?1??24.771mm x?9??24.78m0m。
X?x?1??24.775?240771mm?0.004 x?9??X?0.005mm
x?9?的残差最大，故判x?9?是否有粗大误差。g?9??x?9??X??24.780?24.775?1.70
0.0029查表2-13：g0?9,0.05??2.11。g?9??g0，且g?1??g?9?。故可判别测量列不存在粗大误差。 7、求算术平均值的标准差
根据式（2-21）计算?X得：?X??n?0.0029?0.001mm 98、求算术平均值的极限误差
因为次数n=9， 次数少，所以采用t分布计算极限误差。
按??n?1?8。取??0.05，查附录表3得 t??2.31 所以 ?limX??t??X??2.31?0.001??0.0023mm
9、测量结果：常用算术平均值及其极限误差表示：L?X??limX?24.775?0.0023mm
二、不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
[例2-23] （?52）测某角度惊醒六组不等精度测量?1,?2??6，且各组数据不含系统误差和粗大误差，求最后测量结果。 解：可按下步骤进行
1、求加权算术平均值（首先由次数n确定各组的权）
23
p1:p2:p3:p4:p5:p?61:5:4:2 :2:6取p1?1，p2?5，p3?4，p4?2，p5?2，p6?6
?'''?pi?16i?20
根据式（2-46）求加权算术平均值?，选取参考值?0?751806，则可得
???0??p??ii?16i?16i??0?i?p1?0''?5?4''?4?2''?2?10''?2?7''?6?3''''' ?751806??75?18'06''?4''?75?181020?'''2、求残差（并校核）
'''''''''''' Vi??i?? V1??4，V2?0，V3??2，V4?6，V5?3，V6??1
（因为
?pVii?1??4??4??2??2?6??2?3??6??1??0 ，所以?及Vi计算正确）
3、求加权算术平均值的标准差
????pV?m?1??p2iii?1m?i42?4?4?2?36?2?9?6?1128??1.1''
100?6?1??204、求加权算术平均值的极限误差
因为该角进行六组共120个测量数据，可认为该测量列服从正态分布，取置信系数t=3，
??t????3?1.1??3.（p?99.73%）则 ?lim 3X5、最后结果： ?????limX?751810?3.3
?'''''''''
第三章 误差的合成与分配
教学目标：本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。
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教学重点和难点：
? 函数系统误差 ? 函数随机误差 ? 随机误差的合成
? 未定系统误差和随机误差的合成 ? 误差分配
? 微小误差取舍准则 ? 最佳测量方案的确定
误差的合成：将测量中不同性质的各项误差进行综合，求得最后测量结果的总误差。 误差的分配：给定测量总误差的允差，要求确定各个单项误差。
第一节函数误差
间接测量：通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量。
函数误差：间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，称这种间接测量的误差为函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型 ：y?f(x1,x2,...,xn)。x1,x2,?,xn与被测量有函数关系的各个直接测量值及其其他非测量值，又称输入量。y为间接测量值，又称输 函数系统误差dy的计算公式：
dy??f?f?f dx1?dx2?...?dxn （3-1）
?x1?x2?xn?f?f?f?x1??x2?...??xn （3-2） ?x1?x2?xn?y?（1）?f?xi(i?1,2,?,n)为各个输入量在该测量点(x1,x2,?,xn)处的误差传播系数。 （2）?xi和?y的量纲或单位相同，则?f?xi起到误差放大或缩小的作用。 （3）?xi和?y的量纲或单位相同，则?f?xi起到误差单位换算的作用。
1、线性函数： y?a1x1?a2x2?...?anxn （3-3） 系统误差公式： ?y?a1?x1?a2?x2?...?an?xn 当ai?1
?y??x1??x2?...??xn （3-4）
上式说明当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 。
2、三角函数形式
1n?fsin??f?x1,x2,...,xn? ????xi （3-6） ?cos?i?1?xi
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