代入式（2-17）得 n??2?Vi?1n2i??2
???Vi?1n2in?1 （2-18）
2贝塞尔（Bessel）公式 s?1n?xi?x? ?n?1i?1 s2是方差?2的无偏估计，但s并不是标准差?的无偏估计。vi?xi?x。为残余误差，简称残差。式（2-18）称为贝塞尔（Bessel）公式，根据此式可由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。 评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差?和平均误差?，用残余误差表示：
??23?Vi?1n2in?1 （2-19）
4 ??5（二）测量列算术平均值的标准差????x
?Vi?1n2in?1 （2-20）
如在相同条件下对同一量值做多组重复的系列测量，每一列测量都有一个算术平均值，由于随机误差，
???各列的算术平均值也不相同。围绕真值有一定的分散，算术平均值的标准差????x则表征各列x分散性的参
数。
???已知： ?xl1?l2??ln
n1????2?取方差： D?? 参考（2-12） xD?l1??D?l2???D?ln????n因为 D?l1??D?l2???D?ln??D?l?
????故有 D??x所以 ??x???211nDl?D?l? ??n2n （?见（2-5）式）
2?2n ????x??n （2-21）
结论：在n次等精度测量列中，????x为单次测量标准差?的
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1。 n????x与n的关系：?一定时，当n?10，????x减少缓慢。另外，当n愈大时，测量条件越难以恒定，从
而带来新的误差。所以取n?10较为合适。
或然误差： R?0.6745??x???
平均误差： T?0.7979??x???22?? （2-22） ??x????33nn44?? （2-23） ??x????55nn?nnV22i?Vi用残差V2i?1i表示： R?3n?n?1? （2-24） ??4i?15n?n?1? [例2-4] 略
（三）标准差?的其他算法
1、别捷尔斯法（Peters）
n2i?n?2in由Beseel公式 ???V2?i?1n?1??i?1??nnn 2i?Vi i?1n?1?i?1nn
??ni??Vin?1 i?1i?1ni ????i?11n则平均误差为：n?n?n?1??Vi
i?1由式（2-6）得 ??10.7979??1.253?
niPeters公式： ??1.253?Vi?1n?n?1? ni算术平均值的标准差 ??V?1???x?n?1.253?in?n?1? [例2-5] 略
2、极差法（简便）
Beseel、Peters公式均需先求???x，再求Vi，后求?。复杂。?n?xmax?xmin （两者从服从正态分布的x1?xn中选出。）
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2-25）
2-26）
2-27）
2-28） （ （ （ （根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望E??n??dn? （2-29） 因为 E???n?dn??n??，故可得的无偏估计值 （2-30） ??????dn?式中dn的数值见表2-4（略）（见?18） [例2-6]略
3、最大误差法
真值已知，选取随机误差?imax，当服从正态分布。 （ ?i???imaxKnmaxmax=|真值—测量值| ） （2-31）
真值未知，选取残余误差Vi，当服从正态分布。
??ViKmax'n （Vimax?xi????x ） （2-32）
11和'见表?19表2-5 KnKn[例2-7、2-8]略 以上四种方法Beseel最佳。
? [例] 对某量测得数据7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9， 试分别用贝塞尔公式、极差法、最大误差法估计其测量标准差及其标准差的相对标准差。 解：(1) 用贝塞尔公式估算 x?1122 x??7.72s?x?x?0.136 ????iinn?1 s?0.136?0.37
?(s)s?1?0.23
2(n?1)查表，并插值计算 ， (2) 用极差法估算
?(s)s?0.26?1?(0.26?0.17)?0.25 10 xmax?7.9,xmin?7.5,n?11,?11?7.9?7.5?0.4
查表，得 d11?3.17 c11?0.25 故 s?（3）用最大误差法估算
真值x0未知，计算最大残差 ?imax?11d11?0.4?(s)?0.13 ?c11?0.25 3.17s??3?0.22
??0.57??(0.57?0.51)?0.56 查表，插值计算得 1k11
13
15故 s?1?i?k11max?0.56?0.22?0.13
?(s)s?0.27?1(0.?27100.?23) 0.266五、测量的极限误差
测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的???的误差不超过该极限误差的概率为P，x）并使?1?P?可予忽略。 （一）单次测量的极限误差?limx
随机误差正态分布曲线下的面积相当于全部误差出现的概率。即 而随机误差在??至??范围内的概率密度为
1?2??22?2????e??22?2d??1
1P??????2?????e??22?22d???2???0e?d? （2-33）
引入新的变量t t?经变换，上式成为 P??????，??t? ?2?2??e02t?t22dt?2??t?
??t??12??t0 e?t2dt （2-34）
式（2-34）为概率积分，不同t的??t?值可由附录表1查出。
x （二）算术平均值的极限误差?lim??????算术平均值误差：????x?x?L0
当多个测量列的算术平均值误差????xi?i?1,2?N?为正态分布，同样可得算术平均值的极限误差?lim???x????t??xx的表达式： ?lim? ?? （2-37）???式中，t?3，为置信系数；???? ?? （2-38）xx为算术平均值的标准差。?limx??3??当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称t分布计算。即
????ta??xx ?lim??? （2-39）
式中ta—置信系数，由给定的置信概率P?1?a和自由度V?n?1来确定，具体数值将附表3（t分布表），
a为超出误差的概率（称显著度或显著水平）常取a?0.01,0.02,0.05。n为测量次数。
对同一测量列，按正态分布和t分布分别计算，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，求出的
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?lim???x也不同。
[例2-9] 对某量进行6次测量，测得数据如下：
802.40 802.50 802.38 802.48 802.42 802.46 求???x x和?lim???解： ???x??li?16i6?802.44 ???Vi?162i6?1?0.047 ??x????n?0.047?0.01 96因测量次数较少，应按t分布求?lim???x，已知V?n?1?5，取a=0.01，由附表3查出ta?4.03。
????ta??xx所以?lim?????4.03?0.019??0.076
若按正态分布计算，??0.01，相应P?1???0.99，由附录表1查得t?2.60，则算术平均值的极限
????t??xx误差为 ?lim?????2.60?0.019??0.049
由此可见，当测量次数较少时，两种分布计算的结果显然不同。
第二节系统误差
教学重点和难点：
? 系统误差产生的原因 ? 系统误差的特征 ? 系统误差的发现 ? 系统误差的统计检验
? 系统误差减少和消除的方法
一、系统误差产生的原因
系统误差是由固定不变的或按确定规律变换的因数所造成，这些误差因数是可以掌握的。
（1）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器制造和安装的不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器导轨的误差；计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径偏差。
（2）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等
（3）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起的误差；
（4）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时总有一个滞后的倾向等。
二、系统误差的特征
系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变化。
(a) 无补偿性：影响算术平均值的估计
(b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计
（1）不变系统误差：在整个测量过程中，误差大小和符号均固定不变的。
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