n1?f?xi （3-7） cos??f?x1,x2,...,xn? ??? ??sin?i?1?xi tan??f?x1,x2,...,xn? ???cos?2?f?xi （3-8） ?i?1?xi?f?xi （3-9） ??xi?1inn cot??f?x1,x2,...,xn? ????sin?2[例3-1] 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一
把卡尺量得弓高h?50mm，弦长l?500mm，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高h?50.1mm，弦长l?499mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。
l2 解：建立间接测量大工件直径的函数模型 D??h
4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在h?50mm和l?500mm处的直径测量值。
l2D0??h?1300mm
4h车间工人测量弓高h、弦长l的系统误差：
m?h?50?50.1??0.1mm ?l?500?499?1m误差传递系数为：
?l2??5002??f?fl500???2?1?????1??24 ???5 ?2?h?l2h2?50?4h??4?50?直径的系统误差： ?D??f?f ?l??h?7.4mm?l?h故修正后的测量结果：D?D0??D?1300?7.4?1292.6mm
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此函数随机误差计算就是研究函数y的标准差?y与各测量值xi的标准差?xi之间的关系。 1、函数的标准差与各直接测量量标准差的关系： 函数的一般形式 ：y?f(x1,x2,...,xn)
为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，
其相应的随机误差为：
对x1：?x11,?x12?,?x1N 对x2：?x21,?x22?,?x2N ?
对xn：?xn1,?xn2?,?xnN
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根据函数的全微分，可得相应各次直接测量的函数随机误差： ?y1??f?f?f?x11??x2?1???xn ?x1?x2?xn1 ?y2??f?f?f ?x12??x22????x （3-10）
?x1?x2?xnn2 ? ?yN?将上面方程分别平方得：
?f?f?f?x1N??x2N????xnN ?x1?x2?xn22?y21n??f???f???f??f?f222??????????2?xi1?xj1??xn1?x11??x21?1?i?j?xi?xj??x1???x2???xn?n??f???f???f??f?f222??????????2?xi2?xj2 （3-11） ??xn2?x12??x22??x?x?x?x?x1?i?j?1??2?ij?n?2222
?y22 ?
?yN2n??f???f???f??f?f222??????????2?xiN?xjN ??xnN?x1N??x2N?1?i?j?xi?xj??x1???x2???xn?222将上式方程组两边相加除以N，并根据方差定义（式2-12）可得
ximn???f???f???f??f?f??222m?1?????xn?2????x1????x2?????x?x?x?x?xN1?i?j??1??2??n??ij??222N??x ?y2jm
令 Kij?2??m?1Nxim?xjmN2 ?ij?2Kij?xi?xj 则：
?y2n????f???f???f??f?f222 （3-13） ??????????2??????xn?x1??x2?ijxixj???1?i?j??xi?xj??x1???x2???xn?? （1） ?xi 第i个直接测得量xi的标准差
（2）?ij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 （3）Dij??ij?xi?xj第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 （4）
?f第i个直接测得量xi对间接量y在该测量点(x1,x2,?,xn)处的误差传播系数 ?xi（3-13）式称为函数随机误差公式。若各个测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，相关项Kij?0，则相关系数?ij?0。
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误差公式（3-13）可简化为
?y2??f???f???f?222???????????xn ?x1??x2??x1???x2???xn?222222??f???f???f?222 ?y?? ?????????xn （3-14）?x1??x2?x?x?x?1??2??n?令
?f ?ai，则 ?y?a12?x12?a22?x22???an2?xn2 （3-15）
?xi各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数较小时，也可近似地作为不相关处理，因此（3-14）和（3-15）式是常用的函数随机误差公式。 2、函数的极限误差与各分项极限误差的关系 当各个测量值的随机误差为正态分布时，（3-15）中的标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公
式为：
?limy??a1?limx1?a2?limx2???an?limxn （3-16）
多数情况下，?i?1，且函数形式较简单，即y?x1?x2???xn 则函数的标准差为
222222?y??x12??x22????xn2 （3-17）
函数的极限误差为：
22?limy???lim2 x1??limx2????limxn （3-18）
3、三角函数的随机误差计算
函数形式为： sin??f(x1,x2,...,xn) 函数随机误差公式为：
??f???f???f?1222 ????????????xn （3-19）??x1??x2cos???x1???x2???xn?若用极限误差来表示角度误差，只需在上述各式作相应的误差代换。
222s2[例3-3] 对例[3-1]用弓高弦长法间接测量大直径D??h
4h若已知h?50mm，?lims??0.1mm，s?500mm，h??0.05mm 求最后结果 解：根据式（3-16）求得直径的极限误差为
?s2???f?2??f?2?s?2?limD?????lims????limh?????lims??2?1??2limh??s???h??2h??4h?2??500?2?5002????0.1?1?0.05mm??1.69mm??1.3mm???22?504?50????222222 则所求直径最后结果为：
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D??D0??D???limD??1300?7.4?mm?1.3mm?1292.6mm?1.3mm [例3-4]略
三、误差间的相关关系和相关系数
各误差间的相关性对函数误差及其他误差的合成计算有影响。 函数随机误差公式：
?y2n????f???f???f??f?f222???ij?xi?xj? ??xn?2????x1????x2???????x?x?x?x?x1?i?j??1??2?ij?n??222?ij反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响。当相关系数?ij?0时
?y?a12?x12?a22?x22???an2?xn2 （3-22）
当相关系数?ij?1时， ?y?a1?x1?a2?x2???an?xn （3-23） 即当?ij?1时，函数随机误差具有线性的传递关系。 虽然通常测量多属误差间线性无关，但线性
相关也常见，应先求出各误差间的相关系数，再进行误差合成。
（一）误差间的线性相关关系
误差间的线性相关关系是指她它们具有线性依赖关系。这种依赖关系有强有弱。最强时，在平均意
义上，一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值，此时两误差间具有确定的线性函数关系，最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，是互不相关的情况。
一般两误差的关系是介于上两种极端情况之间，既有联系而又不具有确定性。线性以来关系是指平均意义上的，即一个误差值的变化具有线性关系的倾向，但两者取值又不服从确定的线性关系，有一定的随机性。
（二）相关系数?
相关系数?反映两误差有线性关系时的相关性强弱。误差合成时应求出?，并计算相关项大小。
若两误差间?和?的相关系数为?，根据式（3-13）中相关系数定义有： ??K???????D?????? （3-24）
D??—误差?和?之间的协方差 ??、??分别为?和?的标准差
根据概率论： ?1????1
当0???1时，两误差?和?正相关，即一个误差增大，另一个误差也增大。 当?1???0时，两误差?和?负相关，即一个误差增大，另一个误差平均地减小。 当???1时，完全正相关，???1完全负相关。此时?和?存在确定的线性函数关系。 当??0时，?和?间无线性关系（不相关），一个误差增大，另一个误差增大或减小。
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?越接近0，?和?之间的线性相关程度越小；反之，?越大，越接近1，?和?之间的线性相关
程度越密切。值得注意的是，??0时。两误差间不存在线性关系，不等于存在其它函数关系。 确定两误差间的相关系数的常用方法： 1、直接判断法
通过两误差间关系分析，直接确定?。若两误差不可能有联系或联系微弱，则确定??0。若一个误差增大，另一个误差也成比例的增大，则??1。 2、试验观察和简略计算法
（1）观察法：用多组测量的对应值??i?i?作图，与以下标准图形比较，确定?的近似值。图3-3略 （2）简单计算法：将多组测量的对应值??i?i?在平面坐标上作图，做A、B线将点阵左右、上下平分（尽量使A、B线上无点）。设四个部分点十分别为n1、n2、n3、n4，则相关系数为
?n1?n3??? ???cos?n??????n?n?n12?n3?n4 （3-25）
（3）直接计算法：根据多组测量的对应值??i?i?，按相关系数定义直接计算：
????????ii???i??2i???2????????? ?、?分别为?i、?i的均值。 （3-26）
3、理论计算法
有些误差间的相关系数可根据概率论和最小二乘法求出。
如果求得两个误差求得两个误差?和?间为线性相关，即??a??b，则相关系数为 ?????1,a?0 （3-27）
??1,a?0 一般先用理论计算法，不成的话，对于数值小或一般性的误差间的相关系数可用直观判断法，对于数值大或重要的误差间的相关系数可用多组成对观测。
第二节随机误差的合成
解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响
一、标准差的合成
各个标准差合成后的总标准差：
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