???(a?)iii?1q2?2??ijaiaj?i?j （3-28）
1?i?jq（1）q个单项随机误差，标准差?1,?2,?,?q
（2）误差传递系数a1,a2,?,aq： 由间接测量的显函数模型求得 ai??f?xi或根据实际经验给出。
一般情况下， ?ij?0 合成标准差：
???(a?)iii?1q2 （3-29）
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出
各个标准差，均可计算出总的标准差。
当误差传播系数ai?1、且各相关系数均可视为0的情形 ????i?1q2i 二、极限误差的合成
（1）单项极限误差：
?i?ti?ii?1,2,...,q （3-30）
?i—单项随机误差的标准差； ti—单项极限误差的置信系数。 （2）合成极限误差：
???t? （3-31）
?—合成标准差； t—合成极限误差的置信系数
（3）合成极限误差计算公式：
qai?i2??j???t?()?2??ijaiaji （3-34）
tititji?11?i?jq各个置信系数ti、t不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关
?对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同
?对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同
（4）合成极限误差特殊情形：
当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，
此时合成的总误差接近于正态分布，此时t1?t2???tq?t 合成极限误差：
????(a?)iii?1q2?2??ijaiaj?i?j （3-35）
1?i?jq若?ij?0，ai?1。
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?????i?1q2i （3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，
是较为广泛使用的极限误差合成公式。
第三节 系统误差的合成
系统误差是评价测量准确度，具有确定的变化规律。 一、已定系统误差的合成
已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。若有r个单项已定系统误差：
?1,?2,?,?r，相应的误差传递函数为a1,a2,?,ar，按代数和法合成总的已定系统误差为：
???ai?i （3-37）
i?1r合成后从测量结果中修正，使最后测量结果中不包含已定系统误差。
二、未定系统误差的合成
（一）未定系统误差的特征极其评定
1、特征：由定义知，未定系统误差大小方向不知，但可估计其范围。对已定系统误差，在处理测量结果时应先修正而不宜合成；对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机误差进行合成。
（1）在一定条件下，未定系统误差误差一定落在估计的误差区间??ei,ei?内的一个取值。但不能确切掌握。多次测量时，其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量取算术平均值的方法不能减小它对测量结果的影响。这是它与随机误差的一个重要区别。
（2）当测量条件改变时，该误差又是误差区间??ei,ei?内的另一个取值，测量条件多次改变，取值也在该误差区间多次改变，服从一定的概率分布。这是与随机误差的相同点。 2、评定：用标准差或极限误差表征未定系统误差取值的分散程度。
对一批量具、仪器和设备等在加工、装调或检定中，随机因素带来的误差具有随机性。但对某一具体的量具、仪器和设备，随机因素带来的误差具有确定性，实际误差为一恒定值。若尚未掌握这一具体数值，则属未定系统误差。
（二）未定系统误差的合成
未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成的方法处理。 1、标准差的合成
若测量中有s项未定系统误差，它们的标准差为u1,u2,?,us，误差传递系数为a1,a2,?,as。则合成后未定系统误差的总标准
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u??(au)iii?1s2?2??ijaiajuiuj （3-38）
1?i?js当?ij?0时， u?2、极限误差的合成
2(au) ?ii （3-39）i?1s各个单项未定系统误差的极限误差为 ei??tiui i?1,2 ?,s, （3-40）总的未定系统误差的极限误差为： e??tu （3-41） ss则可得： e??t?(a2iui)?2 i?11??ijaiajuiuj ?i?js或 e??t?(asiei)2?2??eiejijaiaj i?1ti1?i?jtit j当各项未定系统误差均服从正态分布，且?ij?0时，则： s e????ae2ii? i?1第四节 系统误差与随机误差的合成
一、按极限误差合成
若测量过程中仅存在s个未定系统误差，q个随机误差，它们的误差值或极限误差分别为： ?1,?2,?,?r——已定系统误差
e1,e2,?,es ——极限误差（未定系统误差） ?1,?2,?,?q——极限误差（随机） （1）单次测量：
设各个误差传播系数均为1，则测量结果总的极限误差为：
rs22 ??eqi????总???i?t??????i??R i?1i?1?ti?i?1?ti?R—各误差间协方差之和。
当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，则 rsq ?2总???2i?i?i i?1?ei?1??i?1若已定系统误差已修正，则
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3-42）
3-43） 3-44）
3-45）
3-46）
（ （ （ （ （?总???e???2ii?1i?1sq2i （3-47）
（2）多次测量：
由于随机误差有抵偿性，系统误差固定不变，随机误差项应除以重复测量次数n。以平均值表示总极限误差
1q2?总???ei???i （3-48）
ni?1i?1s2所以要严格区分各单项误差的性质。
二、按标准差合成
1、单次测量标准差：
若测量过程中仅存在s个未定系统误差（标准差）：u1,u2,?,us；q个单项随机误差（标准差）：
?1,?2,?,?q 。为了计算方便，设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的标准差为：
???u???2ii?1i?1s2isq2i?R （3-49）
各误差间互不相关时： ??s?u???i?1i?12iq2i （3-50）
1q22、n次重复测量： ???u???i （3-51）
ni?1i?1[例3-5] [例3-6]略
第五节 误差分配
基本思想：
给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在测量前，应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各单项误差。
（1）对于函数已定系统误差，可用修正值方法消除，不必考虑各个测量值已定系统误差的影响，而只需
研究随机误差和未定系统误差的分配问题。
（2）单次测量时，在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待，合成时处理方法相同，合成结相
同。因此在误差分配时，其分配方法也完全相同。 假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有
?y?D12?D22???Dn2 （3-52）
式中，Di为函数的部分误差，Di??f?i?ai?i ?xi若已给定?y，需确定Di或相应的?i，使满足
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?y?D12?D22???Dn2 （3-53）
显然Di可是任意值，为不确定解，求解Di需按以下步骤。
一、按等作用原则分配误差
各分项误差对函数误差的影响相等，即 D1?D2???Dn??yn （3-54）
因此可得 ?i??y?y11? （3-55）
n?f/?xinai或用极限误差表示 ?i??1?1? （3-56）
n?f/?xinai?——函数的总极限误差； ?i——各单项误差的极限误差 二、按可能性调整误差
等作用原则分配误差可能出现不合理情况，另外由（3-55）（3-56）式可以看出，各部分误差一定时，
相应测量值的误差与其传递系数成反比。所以各部分误差相等，其相应测量值的误差并不相等。由于以上两种情况，对难以实现测量的误差项适当扩大误差，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，对其余误差项不予调整。
三、验算调整后的总误差
误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。
[例3-7] 测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径D及高度h。根据函数式 V?求得体积V，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的D0?20mm
?D24h
h0?50mm， 试确定直径D及高度h 的测量精度。
解：计算体积V0 V0??D023.1416?202h0??50?15708mm3 4433体积的绝对误差： ?V?V0?1%?15708mm?1%?157.08mm 因为测量项目有两项，所以n?2。
按等影响分配原则分配误差，得到测量直径D与高度h的极限误差
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