点，则参与人1在第一次出价时提出分给参与人2得?2的份额，参与人2会接受。则谈判期为两期的精炼均衡结果是；参与人1得到∶ x1 =1- ?2，参与人2得到∶1- x1 =?2。若令
?1??2?0.8，可得到T=2的讨价还价的情况（表3.5）。
表3.5 T=2时的讨价还价表 期数 1 2
2、当T＝3时
最后阶段由参与人1出价，如果他提出x1＝1，参与人会接受，因为参与人2不再有出价的机会；因为参与人1在T=3时的1单位等价于t=2时的?1单位，如果参与人2在t=2出价让参与人1得到 即 x 2 = ? 1，参与人1将会接受；因为参与人2在t=2时的（1- ?单位，1出价者 1 2 1出价 0.2 (0) 2出价 (0.8) 1 总价值 1 0.8 1的份额 2的份额 0.2 0 0.8 0.8 ?1 ）单位等价于t=1时的?2（1-?1）单位，如果参与人1在t=1时出价让参与人2得?2（1-?1）
参与人2将会接受。因此子博弈精炼纳什均衡结果是∶参与人1得 x ? 1 ? ? ? 1 ) ，参与? 2 (1人2得1?x?1?[1??2(1??1)]??2(1??1)。?1??2?0.8时，双方讨价还价的过程及最后所得见表3.6。
表3.6 T=3时的讨价还价表 期数 1 2 3 出价者 1 2 1
3、当T＝4时
1出价 0.84 （0.8） 1 2出价 （0.16） 0.2 （0） 总价值 1 0.8 0.64 1的份额 0.84 0.64 0.64 2的份额 0.16 0.16 0
1 ?参与人2最后出价。使用上述结果，因为参与人2在t=2的最大可得是[ ? 1 ? ? 2 )] ，1(而参与人2在t=2时得到的1??1(1??2)，相当于在t=1时得到的? ，故参2[1??1(1??2)][1? ?与人1在t=1时将出价让参与人2得到 ? 2 1 ( 1 ? ? 2 )] ，参与人2会接受。子博弈精炼
? 1 ( 1 ??1??2?0.8纳什均衡结果是∶ x ? 1 ? ? 2[ 1 ? ? 2 ) ， 1 ? ? 2 [ ? ? 2 )] 。? x1 ?? 1 (1时，双方讨价还价的过程及最后所得见表3.7。
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表3.7 T=4时的讨价还价表 期数 1 2 3 4 出价者 1 2 1 2 1出价 0.328 （0.16） 0.2 （0） 2出价 （0.672） 0.84 （0.8） 1 总价值 1 0.8 0.64 0.512 1的份额 0.328 0.128 0.128 0 2的份额 0.672 0.672 0.512 0.512 4、 当T＝5时 最后阶段由参与人1出价，因为参与人2在t=2时的最大可得为 1 ? ? 1 ? ? 2 ( 1 ? ? 1 )] ， [1子博弈精炼纳什均衡结果为∶
? x ? ? 2 { 1 ? ? 1 [ ? 1 )]} 。?1??2?0.8时，x?1??2{1??1[1??2(1??1)]}，11 ?? 2 ( 1 ?双方讨价还价的过程及最后所得见表3.8。
表3.8 T=5时的讨价还价表 期数 1 2 3 4 5
可见，在一般情况下的有限期讨价还价博弈中，子博弈精炼纳什均衡结果与贴现因子的大小、博弈期限的长短及谁在最后出价有关。如果有限期博弈在奇数期结束，参与人1最后出价，处于有利地位，故有后动优势，但随时间的延长，参与人1所占份额将降低，这种优势将逐渐丧失。这从前面的分析就可以看出（表3.5至表3.8）。贴现因子在谈判中常用来反映谈判者的耐心程度，有绝对耐心的人总可以通过拖延时间，使自己独吞馅饼，一般情况下，越有耐心的人得的份额越大。
（二）无限期的谈判博弈模型
无限期的谈判博弈是指只要双方不接受对方的出价方案，谈判就会不断进行下去，没有结束期限的限制。由于无限期的谈判没有最后阶段，无法直接应用逆推归纳法求解。但夏克德（Shaked）和萨顿（Sutton）在1984年提出一种解决无限期的谈判博弈的思路∶对一个无限阶段博弈而言，从第三阶段开始（如能达到第三阶段的话），还是从第一阶段开始的结果应该是完全一样的。(从参与人1出价的任何一个阶段开始的子博弈等价于从t=1开始的整个博弈)，这样就可应用有限阶段的逆推归纳法的逻辑寻找子博弈精炼纳什均衡。
定理：在无限期轮流出价博弈中，唯一的子博弈精炼纳什结果是： 1??2*x? 1??1?2
当?1??2?? 时，子博弈精炼纳什结果是∶
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出价者 1 2 1 2 1 1出价 0.7376 （0.672） 0.16 （0.2） 1 2出价 （0.2624） 0.328 （0.84） 0.8 （0） 总价值 1 0.8 0.64 0.512 0.4096 1的份额 0.7376 0.5376 0.5376 0.4096 0.4096 2的份额 0.2624 0.2624 0.1024 0.1024 0
证明∶
在T期博弈的某一期中，如果参与人1出价，他能得到较大的份额。考虑所有的完美均衡，参与人1会在他出价的某一期（假定 t ? 3 ）得到未贴现的最大份额，记为M，而t期的M等价于t－1期?1M，参与人2知道t－1期的任何 x 2 ? ? 1 M 的出价会被参与人1接受，因此参与人2出价 x 2 ? ? 1 M ，自己得1－?1M；因为对参与人2而言，t－1期的 1－?1M等价于t－2期的?2(1－?1M)，参与人1知道t－2期的任何 x1?1??2(1??1M)出价将被参与人2接受，因此参与人1出价 x 1 ? ? 2 ( 1 ? )，参与人2得 ? 1? 1M ? 1 ? ? 1 M ) ， 因为从t-2开始的博弈与从t开始的博弈完全相同，参与人1在t-22 (期得到的最大份额一定与其在t期得到的最大份额相同，因此有（见表3.9）：
x1?M?1??2(1??1M)
解这个式子，可得∶
1??2
M? 1??1?2
表3.9 无限期的轮流出价
期数 T-2 T-1 T
现假定参与人在t期能得到的最小份额为m，同理可得∶ x1?m?1??2(1??1m)
解之得∶ 1??2m? 1??1?2
因此，参与人1得到的最大与最小份额相同，均衡结果是唯一的，即∶
1??2?(1??1) x?1?x?21??1?21??1?2
当?1??2?? 时，有∶
出价者 1 2 1 参与人1的份额 参与人2的份额 x*?11??1??（??1M）21 M 1??1 M
1??
可见谈判博弈中，子博弈精炼纳什均衡是参与人贴现因子（耐心程度）的函数，这是罗
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x?11??1?x??宾斯泰英模型的重要结论。一般情况下，越有耐心的谈判人通过拖延时间战术，而使自己所 得的份额越大，这在现实的谈判中是经常可以见到的现象。
如令?1=0.9，?2=0.5，即参与人1比参与人2更有耐心，均衡结果为∶
x*?1??2?0.911??1?21?x*?0.09 如令?2=0，即参与人2完全无耐心，无论?1为多少，均衡结果为∶
x*?1??21?0??11??1?21??1?01?x*?1?1?0这时参与人1得到整个馅饼，而参与人2什么也得不到。
但若令?1=0，即参与人1完全无耐心，只要?2不取1，则均衡结果为∶
1??21??2 x*???01?x*?11??1?21?0??2
也就是说，完全无耐心的参与人2什么也得不到，而完全无耐心的参与人1却能分到一点馅饼。其原因在于，在无限期的谈判博弈中，除了“耐心优势”外，还有“先动优势”（注意，在有限期的谈判博弈中是“后动优势”）。
贴现因子既可理解为参与人的耐心程度，也可理解为讨价还价的一种成本，类似馅饼随时间的推移而不断缩小，每一轮讨价还价的总成本与剩余的馅饼成比例。在谈判中，一般而言，成本高的表现为贴现因子较小，成本低的表现为贴现因子较大。
四、银行挤兑
商业银行是经营特殊商品（货币）的企业，银行的核心业务就是信贷业务，银行通过信贷业务间接融通社会资金。银行信贷对社会经济发展起作巨大的作用，但同时也存在着各种风险，银行挤兑就是其中的一种风险，这种风险可以用一个有同时选择的两阶段动态博弈来分析其原因。
假定有一个银行，为分析简单起见，假定只有两个储户（这并不影响对银行挤兑原因的分析），银行的全部资金就是这两个储户的存款。银行以10%的利率吸引储户存款，假定每个储户存了100万元的定期存款。银行拿总数为200万元的这笔钱去做投资，即把钱贷给某个企业去投资某个项目。贷款当然是定期的。项目完成投资收回以后，银行可以拿出220万元偿还给储户，每个储户将得到110万元。110万元＞100万元，这正是定期存款的激励作用。
但是根据现行法规，如果储户在没有到期的时候要把定期存款提走，那么只要银行有能力，就必须允许他提走原来存人的100万元（这里未考虑利息）。银行这时不得不提前收回贷款，这将导致企业无法完成投资的项目，银行就要受到罚款，这意味着银行不能收回全部贷款，假定这时银行只能收回贷款的90%，即收回180万元。若这时只有一个储户要求提前取款，银行偿还其全部本金，余下的属于另一个储户，若两储户同时要求提前取款，则平分收回的资金（这里不考虑银行的佣金、手续费等费用）
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根据上述条件，该问题可用一个有两参与人（储户）之间的两阶段博弈来表述（表3.10）。
表3.10 银行挤兑博弈
储户2
不存 存款 不存 100，100 100，100 储户1
存款 100，100 （110，110）
（90，90） a 第一阶段
储户2
提前 到期 提前 90，90 100，80 储户1
到期 80，100 110，110
b 第二阶段
按照逆推归纳法的思路，首先，在该博弈的最后阶段是两储户同时选择是提前取款还是到期取款，在表3.10中的b表中，可看出该博弈有两个纯战略纳什均衡（提前，提前）和（到期，到期），相应的收益为（90，90）和（110，110）。（到期，到期）帕累托优于（提前，提前）。在一般情况下，博弈结果应是 （到期，到期），即两储户都等到存款到期才去支取，收回本金并获取利息。但这种结果并不能保证一定会实现，如现实中某储户有急用要提前支取存软，或是风闻企业投资项目可能遭受损失而急于取回存款等等。如果只有一方提前支取，那么他得到原来的存款100万元，当另一储户在期满时来支取他的存款时，他顶多只能得到80万元的补偿，小于原来的存款额100万元。另一储户预见到这种情况，因此，如果一个储户有提前取款的动向时，另一个储户为了减少自己的损失（同时提前支取各得90万元，一方提前支取得100万元，另一方到期支取得80万元）一定会马上跟进，要求同时提前兑现。这就会发生银行挤兑，即双方争先恐后都要同时提前抽回他们的存款，其结果可能造成银行破产倒闭。这就是银行挤兑成因的博弈分析。
回到该博弈的第一阶段，是两储户同时选择是存款还是不存款，如果第二阶段的均衡结果是（到期，到期）。在这种情况下，第一阶段博弈也有两个纯战略纳什均衡（不存，不存）和（存款，存款），相应的收益为（100，100）和（110，110）。很显然，（存款，存款）帕累托优于（不存，不存），且是占优均衡，故两储户均会选择存款（见表3.10的b表）。这就是银行可通过信贷业务间接融通社会资金的原因。
但如果第二阶段的均衡结果是（提前，提前），在这这种情况下，（存款，存款）的收益为（90，90），而（不存，不存）的收益为（100，100）。此时，两储户的占优均衡是都不存款（见表3.10的b表）。这表示储户对该银行的信誉发生怀疑而不愿将钱存入该银行，这将是该银行崩溃的前兆。
很显然，正是由于这个两阶段博弈的第二阶段的不确定性，是造成可能发生银行挤兑的原因。事实上，绝大多数银行挤兑都发生在传闻银行经营不好有可能破产的时候，一旦破产，储户的存款就可能遭受严重损失。所以，银行一定要使自己的资金来源多元化，一定要注意良好的经营业绩，还一定要掌握相当比例的备用金。不然的话，一点儿风吹草动就可能
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