则可得到两烧烤店的价格反应函数∶
P2*?c?tP(P)?
2*1*2P1*?c?tP(P)?
2*2*1两个反应函数联立求解可得到豪泰林价格博弈的纳什均衡∶
**p1?p2?c?t可见，两厂商在有差异产品的价格博弈中，价格不等于边际成本。这时，两厂商的利润
t分别为∶ **u1?u2? 2 在豪泰林价格博弈中，我们已经证明，只要两厂商生产的产品不是完全同质的，则价格不等于边际成本，两厂商都会得到一定的利润。当然，在这个模型中，是假定消费者是均匀分布的，两商店位于街道两端，成本也相同，故两商店的价格均相同，即在边际成本上加上单位距离的交通费用。但如假定条件有所变化，如消费者不是均匀分布的，则两商店的价格就不一定相等。可观察到的是，有的商店走的是社区道路，即商店开在居民小区内，虽然一些商品的价格高于一些大型超市，但考虑到交通费用，小区居民也大多数会在社区商店购物。
豪泰林位置博弈
在豪泰林位置选择博弈中，价格是固定的，企业在给定的价格水平上选择位置。该模型是假定有一个长度为1的线性街道，消费者均匀地分布在[0，1]区间，分布密度为1。参与人是两家烧烤店1、2。为简便起见，假定两烧烤店的价格均为1，边际成本均为0。（如图2.5）
X1 X2
0 0.5 1
图2.5 豪泰林区位博弈
从图2.5中可看出，若最初烧烤店1位于X1，当两烧烤店的价格均为1，边际成本均为0时，位于X1左边的顾客在烧烤店1消费，并且有两店距离间中的一半顾客在在烧烤店1消费。则烧烤店1的收益为∶
u1?X1?X2?X1 2 若最初烧烤店2位于X2，位于X2右边的顾客在烧烤店2消费，并且有两店距离间中的一半顾客在在烧烤店2消费。则烧烤店2的收益为∶ u2?(1?X2)?X2?X1 2 11
对两个收益函数求导并令其为零，则可得X1*=X2*=0.5。即两烧烤店都挤在这条街道的中间位置做生意，这是该博弈的一个稳定的纳什均衡。在这种情况下，当两店销售的烧烤是完全同质的，两店的利润会为零。但他们为什么会挤在一起做生意呢？似乎有一个合理的安排，店1在1/4处开店，店2在3/4处开店，各占一定的地盘做生意，互不干扰。但从理性人的角度出发，这不是一个稳定的解。烧烤店1会悄悄地向中间移动，这样，位于自己左边的顾客仍在自己的店买烧烤，并同样获得两店间一半的顾客，这样就会扩大自己的顾客人数。烧烤店1这样想，理性的烧烤店2也会这样想，即都有将自己的烧烤店往中间移动的积极性，最终在中点位置上达到博弈的均衡，也使双方均无利可图。 但这一结论与现实观察到的现象并不十分吻合，许多商家挤在一起做生意，但其利润并不为零。对此现象有多种解释，理性的参与人有挤在一起做生意的自利动机，但却形成了商圈，这往往会增加消费者人数，即将面包做大了，以致达到双赢的结果；其次，许多商家的经营各有特色，即并不是销售完全同质的商品，在销售不同质的商品时，他们的价格不等于边际成本，这在异质产品的价格博弈中已有结论；还有，消费者的购买行为也往往是有偏好的，这与消费者购买行为的无差异性假定有出入，如此等等。这就使人们在现实中观察到的情况与博弈中得到的结论并不一致。这个例子给我们的启示是，首先，现实中观察到的社会经济现象，大都是由许多因素共同作用的结果。要对某种现象进行全面、科学的解释，一般要涉及多种学科的知识，只用某一学科的知识来解释都有可能是片面的，甚至会出现自相矛盾的情况。其次，许多结论都是在一定的假设条件下才成立的，而这些假设条件在现实中往往都是不满足的，仅仅是作为理论研究时的一种理论抽象。当然，这种理论抽象的研究也是必要的。如前面引用的豪泰林区位博弈模型，如果两厂商销售的是“完全同质”的商品，消费者也无偏好，他们挤在一起的结果，最终会导致双方均无利可图，这显然是可预期的结果。问题的关键是两厂商销售的是“完全同质”商品的假设条件不可能完全满足，故出现了现实的情况与理论的结果不一致。
四、草地的悲剧（公共资源的过度利用）
这是制度经济学中典型的例子。从休漠（Hume）1739年开始，许多学者认识到，如果一种资源没有排他性的所有权时（即这种资源被称为公共资源），人们就会完全从私人动机
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出发来使用公共资源，这将导致这些资源的被过度利用，而过度利用会达到任何利用它的人都无法得到多少实际的好处，甚至都会承受其带来的灾难。如森林的过度砍伐，河流的污染，鱼类的过度捕捉，土地的沙漠化，矿产的过度开发等等。
Hardin在1968建立了一个模型来说明公共资源是如何被过渡利用的。模型假设某村庄有n家农户，该村有一片可供大家自由放羊的草地。但只能放养一定数目的羊群，若超过这个数目，则会使羊的产出（皮、毛、肉的总价值）减少。假定养羊数由各农户自行同时决策，且都知道总的放羊数目及每只羊的产出。因此，该博弈构成一个完全信息的静态博弈。 该问题中的参与人是n户农户，战略空间是选择养羊数目qi?[0,?)，（i=1，2, . . . ,n），羊的总数为Q??qi?1ni；每只羊的产出（价值）是羊的总数的减函数， V=V（Q) = V（ q1 +
q2 + . . .+qn ），因为该片草地有一个最大可存活的羊群数Qmax，当Q
?q)?qcii(i?1,2,?,n)
?ui?V(Q)?qiV'(Q)?C?0?qi(i?1,2,?,n)
一阶条件的含义是，增加一只羊有正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值V，负的效应是这只羊使所有在它之前的羊的价值下降（qiV’ <0）。最优解满足边际收益等于边际成本的条件（注意这里是对农户个人而言）。
由一阶条件可得到参与人i的最优反应函数∶
* qi?qi(q1,?qi?1,qi?1,?,qn)(i?1,2,?,n)，
因为，
?2ui?V'(Q)?V'(Q)?qiV\(Q)?0 2?qi?2ui ?V'(Q)?qiV\(Q)?0
?qj?qi所以，
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?qi??2?0 ?qj?ui?qi2这就是说，第i个农户的最优放羊的数量随其他农户的放羊数的增加而递减。
由最优化的一阶条件可得到第i个农户的最优反应函数，对n个反应函数联立求解可
***得到纳什均衡条件下每个农户的放养只数∶q1,?,qi,?,qn。纳什均衡的总放养只数为∶
?2ui?qj?qiQ??qi*
*i?1n而Q*需要满足如下条件∶
Q*'*V(Q)?V(Q)?C?0
n*注意到纳什均衡的最优化一阶条件满足边际收益等于边际成本，即每个农户在决定增加自己的放羊数时考虑到了对现有羊的价值的负效应，但他仅考虑的是对自己羊的影响，而不是考虑对所有羊的影响。因此，纳什均衡的最优放养只数时的个人边际成本小于社会边际成本。而社会最优化的目标是使社会总利润最大化的放养只数，即∶
MaxQV(Q)?QC
Q最优化的一阶条件为∶
V(Q)?QV(Q)?C?0 由于有V’(Q) <0，所以∶
****'**Q*'*V(Q)?QV(Q)?C?V(Q)?V(Q)?C?0 n?V(Q**)?Q**V'(Q**)?C**'**而V?QV?C的导数为2V?qV?0，则可得Q*>Q**，即纳什均衡的放羊总数超过了社会最优水平，公共资源被过度利用了。
在上面的结论中，由于羊的数量不是连续可分的，故利润函数不是连续函数，只能得出较抽象的结论。为了让读者有一直观的印象，从技术上我们认为利润函数是连续函数，则可对其求导。
现假定该村庄只有两家农户，即n=2，两家农户养羊的成本均相同，即C1=C2=10，产出函数取如下线性形式∶ V=100-Q=100 - （ q1 + q2 ）。
则两农户的得益分别为∶
u1?q1[100?(q1?q2)]?10q1 u2?q2[100?(q1?q2)]?10q2
在利润函数是连续函数的假设下，可对利润函数分别求偏导数并令其等于0，求得反应
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函数∶
1*q1?R1(q2)?45?q2
2
1 *q2?R2(q1)?45?q1 2解此联立方程组可得∶ **q1?q2?30
即两家农户在各自同时选择放羊只数时均选择放养30只羊。各自的利润为
u1?u2?900。纳什均衡下的总放养只数和总利润分别为∶Q =60和U = 1800。
若该村庄只有一家农户时，他的最佳放羊数就是总的放羊数，他的利润就是总利润。其总利润为∶ U?Q(100?Q)?10Q?90Q?Q2
对U求导得∶90 - 2Q = 0 ， 解之∶Q = 45 ， U = 2025。 可见，总体最优的放养只数比纳什均衡只数少，而得益却高于纳什均衡的得益。
若两农户若能达成协议，即每户放养只数为45/2只，却能获得更多的收益。但这个协议不是纳什均衡的协议，没有人有自觉性自愿遵守，反而是人人都有不遵守的积极性。因此，草地被过度地被使用了，这就是草地的悲剧。 公共资源被过度利用的现象随处可见，这也是典型的囚徒困境。尽管休漠等学者从1739年开始就对此提出警告，但悲剧似乎在不断重复上演，有的地方，有的领域还有加剧的倾向。人们为此也提出了许多方法来帮助公共资源被过度利用的现象来走出“囚徒困境”。如将公共资源的所有权明晰化，或国有，或私有；用法律的形式强制保护公共资源，如“封山育林”、“禁捕禁猎禁采” 等等。但防止公共资源被过度利用显然是一项复杂、艰巨而又任重道远的系统工程，大概要全人类共同的努力才能防止悲剧的重复上演。
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