两条曲线只交叉一次，且在交叉点R1比R2更陡。在满足这些条件时才是可解的。就是说有的博弈并不能保证支付函数是连续可导的；反应函数也不一定会保证有交点；更不能保证交点是唯一的，这时则不能用“反应函数法”得到纳什均衡解。
混合战略纳什均衡的反应函数 在性别博弈中，我们说该博弈有两个纯战略纳什均衡和一个混合战略均衡，其反应函数图如下（图2.2）。
P（Y1）
R2
R1
(3/4,1/5) 1/5
0 3/4 1 P（X1）
图2.3 性别博弈反应函数图
图2.2中，横轴表示男的选足球的概率P(X1) ，纵轴表示女的选足球的概率P(Y1) 。图中有三个交点， （0,0）和(1,1)表示两个纯战略纳什均衡，而(3/4,1/5)表示混合战略纳什均衡。R1 和R2分别为男的和女的反应曲线。
性别博弈中，在求解男方按多大概率选足球和电影时得到∶P（X1）= 3 P（X2）；在求解女方按多大概率选足球和电影时得到∶4P（Y1）= P（Y2）。
R2为女方对男方战略选择的反应曲线 ，其含义为，当男的选择足球的概率P(X1)<3/4时，则女的选择足球的得益为1P(X1)<3/4，而选择电影的得益为3P（X2）=3[1- P(X1)]>3/4，因此，女的应选择电影，即P(Y1)=0；而当男的选择足球的概率P(X1)>3/4时，女的选足球的得益为1 P(X1)>3/4，大于选电影的得益3P（X2）=3[1- P(X1)]<3/4，这时女的应选足球，即P(Y1)=1；当男的选择足球的概率P(X1)=3/4时， P(Y1)取0与1之间的任何值对女的得益均一样。
R1为男方对女方战略选择的反应曲线 ，其含义可以作出相似的解释。
二、两厂商生产同质产品的价格博弈
在古诺提出两厂商生产同质产品的产量博弈之后约50年，也是法国的经济学家伯川德
6
（Bertrand）在1883年提出了两厂商生产同质产品的价格博弈模型，即厂商的竞争战略是价格而不是产量，这一改变使博弈的市场均衡完全不同于古诺纳什均衡。
在Bertrand模型中，也是假设某一市场只有厂商1，厂商2两个厂商。他们生产完全相同的产品，均无固定成本，两厂商的边际成本均相同（C1=C2=C），唯一不同的是两个厂商的战略是同时选择价格P1 和P2。可见，这时产量是价格的函数，若令产量的函数取如下线性形式∶
q1?a?bp1q2?a?bp2
则两厂商的利润为∶
u1?p1q1?cq1?(p1?c)q1?(p1?c)(a?bp1)
u2?p2q2?cq2?(p2?c)q2?(p2?c)(a?bp2)
若对厂商1的利润函数加以讨论，则有如下情况∶
?(p1?c)(a?bp1)?1?u1??(p1?c)(a?bp1)?2??00 0 可见，伯川德价格博弈模型的利润函数是不连续的。当P1 伯川德价格博弈模型的纳什均衡是唯一的，即两厂商的价格相同且等于边际成本，即 P1=P2=C。由于他们的利润函数是不连续的，故不能利用求导的方法解一阶条件加以证明，只有通过逻辑推理加以说明。首先，从两厂商的利润函数可以看出，低价的厂商会得到整个市场，而高价的厂商会失去整个市场。故两厂商均有降价的积极性，直到价格等于边际成本为止，即Pi =C。当然，价格也不会降到低于边际成本（Pi （C，P2）厂商1则可在P1?中任选一个价格水平，自己得到整个市场并有正的利润，而使 厂商2的利润为零。则有这样的结论，如果P2>C，必有P1>C，且P1< P2。同理，可推到厂 商2的结论，如果P1>C，必有P2>C，且P2< P1。很显然，从厂商1和厂商2的结论出发，从逻辑上是相悖的，即一厂商的价格高于边际成本，另一厂商的价格也必然高于边际成本，且一厂商的价格要低于另一厂商的价格，这显然是与结论相矛盾的。 伯川德的结论是，如果厂商生产完全同质的产品，即使只有两个厂商，价格战的结果会使厂商的价格等于边际成本，所有的厂商均无利可图。如果厂商的成本不一样，在长期的价格战中，高成本的厂商最终会被挤出市场。近几年的家电价格战已充分证明了这一点，几轮价格战下来，许多厂家都几乎没有什么利润可图了。而每一轮价格战，都会有一些家电厂家被淘汰出局，现在只存在十多家规模较大，成本较低，管理较好的家电企业了。 7 三、两厂商生产异质产品的价格博弈 伯川德悖论∶在伯川德价格博弈中得到的结论是，如果厂商生产完全同质的产品，会 8 使所有厂商的价格等于边际成本，都无利可图，利润均为零。但人们在现实中观察到的是，厂商之间的竞争并未使均衡价格降到等于边际成本的水平，而是高于边际成本，企业仍会获得一定的超额利润。这就是著名的伯川德悖论，也称为伯川德之迷。 为什么伯川德均衡在现实中不能实现呢？对此现象有多种解释，第一种是生产能力约束解释，即埃奇沃斯（Edgeworand）悖论。埃奇沃斯在1897年的一篇论文中指出，由于大多数企业的生产能力是有限的，所以，当一个开价较低的厂商全部的生产能力所提供的供给量不能全部满足社会需求时，则另一个厂商则可以以高于边际成本的价格出售产品来满足剩余的需求而得正的利润。如市场上只有两个厂商，即厂商1和厂商2，若两个厂商的边际成本均为C。当厂商1的售价为P1=C时，而它的全部生产能力所提供的供给量小于价格为C的需求量D（C）时，虽然这时的需求量都会转到厂商1，但由于厂商1的生产能力限制，仍有一部分需求不能得到满足。这部分剩余的需求就会转向去厂商2购买，这时厂商2的价格若高于边际成本（P2>C），消费者只得接受。至于哪些消费者购买低价商品，哪些消费者购买高价商品，则取决于何种配给规则（如需求强度配给、反需求强度配给、比例配给等）。但在有生产能力约束时，伯川德均衡（P1=P2=C）不会得以实现的结论是确定的。当然，在21世纪的今天，除极少数商品外，大多数企业均表现为生产能力过剩，故这种解释在现在已不具有很大的说服力了。 第二种是串谋解释。首先，在论及纳什均衡时，我们假设参与人是完全理性的，而且是假定参与人之间不允许达成任何协议的非合作博弈的均衡解。但现实中，价格战对厂商而言，无疑是两败俱伤的事，预见到这一点，厂商之间串谋达成某种协议，无论是公开的卡特尔协议，还是暗中相互串通的价格联盟却是可能存在的，特别是在只有少数几个寡头企业时。有报道国内几家航空公司进行价格串通正好印证了这一点。其次，伯川德均衡的实现是建立在两厂商竞相降价的基础之上的，这实际上已经是动态博弈了。预见到降价将会引发的价格战，这不得不迫使厂家对降价在短期中带来的好处与降价在长期中带来的损失之间认真思考并作出慎重的选择。厂商很可能在p1=p2>C的某一个价格上达成某种默契或协议，这也是完全有可能的。尽管许多国家已制定了“反垄断法”来阻止这种防碍自由竞争的价格或产量的联盟，但现实中这种现象仍时有发生，特别是经济正处于转轨期的中国这种现象更为突出。 第三种是完全同质产品假定的解释。在伯川德价格博弈中是假定厂商生产的产品是完全同质的（如品牌、质量、包装、售后服务、地理位置等完全相同）。在这样的假设下，厂商之间的产品就有完全的替代性，消费者唯一感兴趣的就是价格，哪家的价格低就购买谁的产品，这样就必然引起厂商之间的相互降价，最终使价格等于边际成本，所有的厂商均无利可图。但这个假定在现实中这个假定一般情况下均不能得到满足，即厂商间的产品是有差异的。如有的品牌更好，有的服务上更周到，而有的占据了更好的口岸，如此等等。如果产品是有差异的，产品之间的替代性就不是完全的，消费者对价格不是唯一感兴趣的变量（如有的消费者宁愿花更多的钱购买名牌产品），这时均衡价格将不等于边际成本。这种由产品的差异性造成的产品价格的巨大差异是企业获利的一个主要因素，市场上，一些名牌产品的价格以高出一般品牌几倍、几十倍、甚至上百倍的现象彼彼皆是。由产品的差异性使得伯川德均衡不能实现的理由似乎更有说服力，更直观也为大多数人所接受。当然，产品同质性的假设也不是没有现实依据的。近几年家电产品的价格战就充分印证了这一点，由于家电厂家生产的几乎是同质的产品，几轮价格战下来，家电厂家已几乎无利可图。受名牌产品高价格、高利润的启发，有人认为中国企业效益低下的一个主要原因，就是没有创造出自己的品牌，故近几年许多地区提出“品牌战略”的方针，其原因盖出于此。因此，要走出“伯川德悖论” 的怪圈，有人认为，提供有差异性的产品是一个主要的解决办法。 豪泰林（Hotelling）区位博弈 在伯川德价格博弈中，我们已经知道，若两厂商生产完全同质产品时，价格等于边际 9 成本，两厂商均无利可图。解开这个“悖论”的办法之一就是引入产品的差异性（如品牌、质量、包装、售后服务、地理位置等）。即如果厂商间生产的产品是有差异的，则价格将不会等于边际成本。而产品的差异性多种多样，豪泰林在1929年提出了一个经典的区位博弈模型。在豪泰林模型中，他又将其分为价格选择博弈和位置选择博弈。在价格选择博弈中，企业在给定的位置上选择价格。而在位置选择博弈中，企业在给定的价格水平上选择位置。 豪泰林价格博弈 为了让这个模型有一个直观而简单的结论，这里对模型的条件有的进行了一些改造。 该模型是假定有一个长度为1的线性街道，消费者均匀地分布在[0，1]区间，分布密度为1。参与人是两家烧烤店1、2，两个烧烤店所卖烧烤的品种及服务均一样，产品的差异表现在地理位置上。这样，不同位置的顾客到哪一家去吃烧烤，就必须要支付一定的旅行成本，顾客这时就不仅要考虑价格，还要考虑旅行成本（交通费用），即要使商品的价格和交通费用之和为最小，而不是只考虑价格，正好反映了“酒好也怕巷子深” 这种情况。我们假定两个烧烤店分别位于街道两端，即烧烤店1在X = 0，烧烤店2在X = 1（如图2.3）。两烧烤店提供单位商品的成本均为C ，消费者购买商品的旅行成本与烧烤店的距离成反比，单位距离成本为t ，则住在X的顾客在烧烤店1购买的旅行成本为 tX ，在烧烤店2购买的旅行成本为 t (1-X) 。假定顾客具有单位需求，即或者消费1个单位，或者消费0个单位。再假定顾客为消费1个单位最多愿意付出S，设S的数值足够大，以保证顾客总会消1个单位的商品。这是一个完全信息的静态博弈，两个烧烤店分别同时选择自己的价格。 1 X 2 0 1 图2.4 豪泰林价格博弈 令Pi为商店 i的价格，Di（P1 ，P2）为需求函数，i = 1, 2 。顾客当然会在总成本最小的烧烤店去消费。很显然，在这条街道上存在某一个位置X，如果住在X的顾客在两商店之间是无差异的，那么，所有住在X左边的都在商店1购买，而住在X右边的将在商店2购买，则需求分别为D1 = X，D2 = (1 – X ）。这里，X满足∶ P1 + t X = P2 + t （1-X） 从而得到需求函数∶ P2?P1?tD1(PP)?X? 1,22t P1?P2?tD2(PP)?(1?X)? 1,22t 则两烧烤店的利润函数为∶ 1 u1(p1,p2)?(p1?c)D1(p1,p2)?(p1?c)(p2?p1?t) 2t1 u2(p1,p2)?(p2?c)D2(p1,p2)?(p2?c)(p1?p2?t) 2t对利润函数求偏导数，则有∶ p2 – 2p1 + c + t=0 ； p1 – 2p2 + c + t = 0 10
