经济博弈论案例
第－部分 完全信息静态博弈
一、两厂商生产同质产品的产量博弈
在现实的市场结构中，完全竞争与垄断是两种极端的市场状态，处于这两种极端情况下厂商的决策相对而言是简单的。在完全竞争市场上，由于有无穷多个竞争者，个别厂商的行为对市场价格的影响是微乎其微的，故厂商的决策是在均衡价格下各自选择自己的产量。在垄断市场上，由于只存在一个厂商，这个厂商是在均衡需求下决定价格。而现实中更多见的是有若干个厂商之间进行竞争，在生产同质产品的条件下，他们之间的战略选择是相互影响的，而且对市场价格的形成有重要的影响，这样的市场结构称为“寡头”。处于寡头竞争市场下，若干厂商博弈的变量选择无非是产量或价格。下面先介绍以产量为博弈变量的古诺模型。
奥古斯汀.古诺（Augustin Cournot）是19世纪著名的法国经济学家。他在1838年提出的寡头竞争模型是纳什均衡应用的最早版本，是研究产业组织理论的重要基础。
在古诺模型中，是假设某一市场只有厂商1，厂商2两个厂商。他们生产完全相同的产品（产品间有完全的替代性），每个厂商的战略是同时选择产量，支付是利润，它是两个厂商产量的函数。若令qi代表第i个厂商的产量，i=1、2，即厂商1选择产量q1，厂商2选择产量q2，则总产量为∶Q = q1+ q2 ，设P为市场的出清价格（可以将产品全部卖出去的价格），则P是市场总产量的函数，P=P（Q）=P（ q1+ q2 ），为简化起见，令P取如下的 线性形式∶P = a - （ q1+ q2 ），a可理解为该产品的市场最大的需求量，为常数。Ci（q i）为成本函数。假定两厂商均无固定成本，单位边际成本分别为C1，C2 。则两厂商的利润函数分别为∶
u1?q1p(Q)?c1q1?q1[a?(q1?q2)]?c1q1
?(a?c1)q1?q1q2?q12
u2?q2p(Q)?c2q2?q2[a?(q1?q2)]?c2q2
2 ?(a?c2)q2?q1q2?q2
该例中两参与人有无限多种产量战略，但纳什均衡的概念对此仍然适用，即找到战略组合,使其利润最大，这就是数学中求极大值的问题。因此，分别对u1 ,u2求偏导数并令其为零，则有∶ **(a?c1)?q2?2q1?0
** （a?c2）?q1?2q2?0
若令C1=C2=C，解此方程组，得纳什均衡产量∶
1**q1?q2?(a?c)
3
纳什均衡产量下的利润为∶
1u1?u2?(a?c)2
9
1
为让该问题有个更直观的概念，令a=100，两厂商的边际成本C1 = C2 = C = 10，代入则有∶ 1**q1?q2?(100?10)?30 3 1u1?u2?(100?10)2?900 9 即两厂商在无固定成本，且边际成本相同时，各自选择生产30个单位的产量，且每个厂商得到900个单位的利润，这就是古诺纳什均衡。古诺纳什均衡下的市场总产量和总利润为∶ **Q?q1?q2?60;U?u1?u2?1800
若市场上只有一家厂商，这时市场结构为垄断市场，这个厂商的产量（qi ）就是市场的总产量（即垄断产量Q）。垄断利润为∶
U?Q(a?Q)?CQ?(a?c)Q?Q2
对U求导，并令其为零，则有∶
a?c?2Q?0
解之可得到垄断产量和垄断利润∶
11Q*?(a?c);U?(a?c)2
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当a = 100 ，c = 10时，可得到 Q = 45 ， U = 2025
可见，与纳什均衡比较，垄断企业的总产量较小，而总利润较高。
该问题也可以这样理解，如果两厂商能进行合作，生产利润最高的产量，即各自生产垄断产量的一半（q1 = q2 =22.5），而各自的利润却均能得到提高，这时u1 = u2 =1012.5。但在独自决策时，这种合作是不容易的，即使达成协议，由于不是纳什均衡的协议，也往往由于缺乏足够的强制力而很难真正执行。这是典型的囚徒困境问题。前几年中国十几个家电企业价格联盟的瓦解也充分证实了这一点
但从另一个方面看，个人理性与集体理性的冲突，有时对参与人是坏事，但对全社会可能是好事（该例是消费者可购买到更便宜的商品）。可见，个人理性与集体理性的冲突究竟是好事还是坏事，一般不宜进行抽象的议论，要具体问题具体分析。
值得注意的是，两厂商生产同质产品的产量博弈中，决策的变量是产量，这时的价格高于边际成本。在上例中，两厂商的价格均为P=40（P = a - （ q1+ q2 ）=100-30-30=40），高于边际成本C=10。在后面的论述中可以看到，随着厂家的增加，n个厂家各自的产量会逐渐减少，价格也会逐渐降低，当n趋于无穷时，各个厂家的产量会接近于0，价格等于边际成本，各厂家的利润趋近于0。在应用二中，当两厂商生产同质产品的价格博弈时，决策的变量是价格，伯川德证明，即使只有两个厂家时，它们的价格也会等于边际成本，各厂家的利润趋近于0。
在前面的分析中，为了分析的简便，我们是假定两厂商没有固定成本，且边际成本也相同，这与实际不太相符。但这并不影响我们分析的结论，即纳什均衡均衡的总产量比垄断的总产量高，而总利润却比垄断利润低。现仍假定两厂商没有固定成本，但厂商1的边际成本C1=8，厂商2的边际成本C2=12，a=100。则厂商1的纳什均衡产量为∶
2
q1?*11(a?2c1?c2)?(100?2?8?12)?32 3311(a?2c2?c1)?(100?2?12?8)?28 33厂商2的纳什均衡产量为∶
q2?*厂商1和厂商2的利润分别为∶
u1?q1[a?(q1?q2)]?c1q1?32(100?32?28)?8?32?1024
u2?q2[a?(q1?q2)]?c2q2?28(100?32?28)?12?28?784
若我们采用两厂商平均边际成本10 [（8+12）/2] 来计算垄断时的产量和利润，则可得到与前面相同的数值。可见，不同边际成本的纳什均衡均衡的总产量（60）仍然比垄断的总产量（45）高，而总利润（1808）仍然比垄断利润（2025）低。若加入固定成本的因素，其结论也是成立的。
前面是以市场上只存在两个寡头企业来寻找纳什均衡的。当市场上存在n个寡头企业时，仍然可以求得n个厂商的古诺均衡产量和利润。
若n个厂商生产完全同质的产品，均无固定成本，且边际成本均为c，P=P(Q)=a-Q，Q=q1+q2+??qn，各厂家独自选择自己的产量。 则各个厂家博弈的利润函数为∶ ui?pqi?cqi?(a?qi?将利润函数对qi求导并令其为0，则有∶
n?ui?a??qj?c?2qi?0 ?qij?i?qj?inj)?cqi(i?1,2,?,n)
从上式中可求得各厂商对其他厂商产量的反应函数为∶ qi?(a??qj?inj?c)/2
***根据其对称性，则有q1?q2???qN，将此代入反应函数中，可得∶
qi?*a?cn?1(i?1,2,?,n)
则得到n个厂商的古诺均衡的产量，即每个厂商的最优产量是都生产（a-c）/（n+）。
各厂商的利润为∶
(a?c)2ui?(n?1)2(i?1,2,?,n)
则市场的总产量和总利润为∶
nn(a?c)2? ( a ? Q c ) U?2(n?1)n?1
若令a=100，c=10。当n=1时，即市场上只有一个垄断企业，得到垄断产量q1=Q=45{（100-10）/（1+1）}，垄断利润为u1=U=2025；当n=2时，得到双寡头时的产量，即q1=q2=30，总产量Q=60，每个厂商的利润u1=u2=900，总利润为U=1800；当n=5时，每
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个厂商的均衡产量为qi=15，总产量Q=75，每个厂商的利润ui=225，总利润为U=1125；可见，随着厂商数n的增加，每个厂商的均衡产量逐渐减少，总产量逐渐增加，每个厂商的利润和总利润均逐渐减少。特别的，当n趋于无穷时，每个厂商的产量趋于0∶
a?c?0
n??n?1lim每个厂商的利润和总利润趋于0∶
(a?c)2lim?0 n??(n?1)2limn(a?c)2?02n??(n?1)市场的总产量趋于a-c∶
n (a?c)?a?climn??n?1
这时的价格等于边际成本，P=a-Q=a-a+c=c。
当n趋于无穷时，这时实际上已是完全竞争的市场结构了。
反应函数
在寻找本例的纳什均衡时，由于战略的无限性，支付不能用矩阵的形式表达，这里运用了反应函数的解法。
反应函数∶是指每个博弈方针对其他博弈方所有战略的最佳反应构成的函数，称为反应函数。
纳什均衡就是各博弈方的一组互为最佳反映对策的战略，因此，各博弈方的反应函数的交点（如果有的话），就是纳什均衡。
在该例中我们对u1,u2求偏导数得∶
** (a?c1)?q2?2q1?0 **（a?c2）?q1?2q2?0
从上两式中可分别求得厂商1和2的反应函数，
1* q1?R1(q2)?(a?c?q2)2
1* q2?R2(q1)?(a?c?q1)2
当a = 100，c = 10时，
1* q1?R1(q2)?(90?q2)2
1 q2?R2(q1)?(90?q1)2
这两个反应函数都是线性函数，可用平面上两条直线表示（图2.1）
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q2R1(q2) q12（30,30） 3q22q2R2(q1) 310 q1 q1 q1 q1
2
图2.2古诺模型的反应函数
为什么反应函数的交点是纳什均衡呢？从图2.1中可看出，古诺模型不存在占优战略均衡，因为一厂商的最优产量战略依赖于另一厂商产量的选择。又由于其战略（产量）空间是无穷的，也不能使用划线法来寻找纳什均衡。但可用重复剔除严格劣战略的思想来找到本例的纳什均衡解。厂商1是这样思考的∶如果厂商2在博弈之初的产量为0，即市场上只有厂商1一个垄断企业，厂商1这时当然会选择垄断产量q1（45），因为大于垄断产量的战略严格劣于q1，故第一轮博弈得到（q1，0）；给定厂商1选择q1的情况下，厂商2对此的最优反应的产量是选择生产q2，因为小于q2的产量严格劣于q2，故第二轮博弈得到 （q1，q2）；给定厂商2选择q2的情况下，厂商1对此的最优反应的产量是选择生产q1，因为小于q1的产量严格劣于q1，故第三轮博弈得到（q1，q2）；不断如此重复剔除。厂商2的思路与厂商1完全相同。由于其战略（产量）空间是连续的，剔除过程没有穷尽，但每一次剔除都使其战略空间不断缩小，收敛于两条反应直线的交点上，即（30，30）。这与前面根据纳什均衡的定义得到的结果是一致的。
利用反应函数寻找纳什均衡的方法称为“反应函数法”。这种方法直观明了，对于有无穷多连续战略的博弈类型，或对于虽然是离散的但有大量战略，可近似看成连续战略的博弈类型是求解纳什均衡的很常用的一种方法。但要注意，这种方法隐含的条件是要求博弈有稳定的纳什均衡，而且是唯一的。即要求利润函数是严格凹的(u?0)，交叉偏导数是负的
\111122212233332(?2ui/?qi?qj?0)；这两个条件意味着反应函数R1和R2 是斜率为负的连续函数；还要求
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