五、公共物品的供给不足
与公共资源过度使用的情况正好相反，公共物品的私人自愿供给会导致供给不足。
公共物品与私人物品的区分不是从所有权上去区别的，公共物品与私人物品的区别在于，公共物品是可以为一群人同时消费的物品，而私人物品是任何时候都只能为一个使用者提供效用。一般认为，公共物品要满足两个条件∶一是非排他性，即一种物品被提供后，没有任何一个消费者可以被排除在消费该物品的过程之外。如电视台的节目，一个家庭收看某个节目，并不排斥其他家庭也收看同一个节目。二是非竞争性，即某个消费者对一种物品的消费一点也不会减少其余消费者对该物品的消费。如电视台的节目，一个家庭收看某个节目，并不会影响其他家庭也完整地收看该节目。满足“非排他性”和“非竞争性”这两个属性的物品就称为纯公共物品。纯公共物品必须以“不拥挤”为前提，一但拥挤，增加一个消费者便会影响其他人对该物品的消费。如城市道路是公共物品，但使用的人多了就会造成交通堵塞。而“非排他性”也还含有这样的意思，即某种公共物品对于某个和某些消费者是不必要的，但他也别无选择，只能消费这类服务。如某些国防产品，某个和某些消费者可能认为是不必要的开支，但这些公共物品并不需要征求部分消费者的意愿，一但政府认为这些国防产品会提高国家的安全程度，决定生产这些国防产品，则所有消费者都同时消费了这些公共物品。当然，在现实生活中，公共物品的分类并不是纯而又纯的，因为“拥挤程度”可能由量变积累到质变，“非竞争性”的程度也是会发生变化的。如现在许多城市里的交通拥挤现象，道路就是具有非排他性但具有竞争性的公共物品；如上网，上网收费可排除未交费的消费者，但在网络未饱合之前是不会由于增加一个消费者而增加成本的，上网就是具有排他性但不具有竞争性的公共物品。对非纯的公共物品，一般称为“准公共品”。
萨缪尔逊在1954年提出了一个理论模型来讨论公共品提供的原则。该模型试图描述这样一种情况∶设想有一个由n个居民组成的社区正在建设一座防沙林，每个居民自愿提供树苗，树苗的总供给等于所有居民个人供给之和。树苗越多，防沙林的防沙效果越好，所有居n民都受益。设第i个居民提供的树苗为qi ，总供给为 Q ? q i 。假定居民i的效用函数
i?1为ui（xi，Q），这里xi是私人物品的消费量。
?u?u0 , i ?假定 i ? 0 , 且私人物品 和公共物品的边际替代率是递减的。 ?xi?Q
令px为私人物品的价格，pQ为树苗的价格，Mi为个人总预算收入。则每个居民面临的问题是∶给定其他居民选择的情况下，选择自己的最优战略（Xi，qi）以最大化下列目标函数∶
Li?ui(xi,Q)??(Mi?pxxi?pQqi)
?是拉格朗日乘数。最优化的一阶条件为∶
?ui?u??pQ?0,i??px?0
?Q?xi
则有∶ ?ui/?QpQ?,(i?1,2,?,n) ?ui/?xipx
这是消费者理论中的均衡条件。每个居民选择购买公共物品就如同它是私人物品一样，假定其他人的选择给定，n个均衡条件决定了公共物品自愿供给的纳什均衡∶ n**** qi?(q1,?,qn),Q?qi*??i?1 16
下面我们给出帕累托最优解，假定社会福利函数取下列形式∶
W??1u1????iui????nun,?i?0
总预算约束为∶
nn
Mi?pxxi?pQQ i?1i?1
帕累托最优的一阶条件为∶
n?ui ?ui???px?0?i??pQ?0i ?xi?Qi?1
这里? 是拉格朗日乘数。使用n个等式消除掉 ? i ，得到均衡条件∶
?ui/?QpQ ??ui/?xipx
这就是所谓的存在公共物品下帕累托最优的萨谬尔逊条件。尽管个人最优选择导致个人边际替代率等于价格比率，帕累托最优要求所有居民的边际替代率之和等于价格比率。上式可另写为∶
?uj/?QpQ?ui/?Q ???uj/?xjpxi?j?ui/?xi
这意味着帕累托最优的公共物品的供给大于纳什均衡的公共物品的供给。
为了对这一点有更直观的认识，张维迎教授将个人效用函数具体化并进行了不同情况的讨论。这里假定个人效用函数取柯布—道格拉斯形式，即∶ ui?xi?Q?,0???1,0???1,????1 ???1pQ?xQi在这个假设下，个人最优的均衡条件为∶ ???1??xQpxi
将预算约束条件代入并整理，得到反应函数为∶
?Mi?qi*??qj,i?1,2,?,n
???pQ???j?i
反应函数意味着，一个人相信其他人提供的公共物品越多，他自己的供给就越少。
1、所有居民有相同的收入水平时的纳什均衡
所有居民有相同的收入水平时，均衡情况下所有居民提供相同的公共物品，纳什均衡为∶
?Mqi*?,i?1,2,?,n
?n??pQ
纳什均衡的总供给为∶
n?MQ*?nqi*?
?n??pQ
所有居民有相同的收入水平时的帕累托最优的一阶条件为∶ ?xi?Q??1pQn??1?? ?xQp??????ix 17
将预算约束条件代入，得到单个人的帕累托最优供给和总供给∶
?M**n?Mqi**?,Q?nqi**?
???pQ???pQ
纳什均衡的总供给与帕累托最优的总供给的比率为∶
Q*??? ??1**Q?n??
结论∶在居民收入相同时，公共物品的纳什均衡供给是囚徒困境。纳什均衡供给小于帕累托最优供给，且二者之间的差距随社区居民人数的增加而扩大。另外，供给不足的程度与效用函数的特征也有关，比如，β相对于α的比率越大，供给不足就越小；当α趋于零时，纳什均衡的供给趋近于帕累托最优供给。
2、当收入分配不相等时的纳什均衡
结论∶供给不足的的程度会随收入分配差距的扩大而减弱（Olson，1982）。
为给出更直观和简单的结论，假设该社区由两人组成。当两人的收入完全相同时，令M1=M2=1.5m，其纳什均衡为∶
?1.5m?1.5m**(q1,q2)?(,)
2???pQ2???pQ
纳什均衡总供给为∶
?3m**Q*?q1?q2?
2???pQ
如果居民1的收入是居民2的两倍，即M1=2m，M2=m，假定α ≧ β ，纳什均衡为∶
?2m **(q1,q2)?(,0) ???pQ
即是说，只有高收入居民提供公共物品，而低收入居民不提供公共物品。 可以验证，收入平均分配下的纳什均衡总供给小于收入分配不均时的纳时均衡总供给∶
?3m?2m?
2???pQ???pQ
收入分配不平均时，公共物品的自愿供给是一个智猪博弈。高收入者是大猪，低收入者是小猪，原因是高收入者提供公共物品的外部效应较小。
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六、打击走私博弈
打击走私博弈是监督博弈的一种具体应用。监督博弈在实际中还有许多应用的领域，诸如税收检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等方面。
下面以打击走私为例来寻找监督博弈的纳什均衡。
走私与资本主义一起产生于14至16世纪，它是国际经济活动中的一种违法犯罪行为。古往今来，各个国家都存在着程度不同的走私活动。其原因在于，国家要对“奢侈品”或高档品（如烟、酒、轿车等）征收较高的税率（从关税的收入功能而言，奢侈品的消费者收入较高，税负力强，在高税率下，关税收入会多一些，而且因为税率高会减少奢侈品的进口量，不会影响人民的日常生活，还可以起到调节贫富差距的再分配作用。从关税的保护功能而言，奢侈品工业不需要高保护）。但高的保护关税在一个法制不太健全，监督不太有效的国家会产生大量的寻租活动和走私犯罪。这是因为，随着人民生活水平的提高，人民对高档品的需求越来越大，而高关税壁垒及国内同质产品供给不足，从中寻求各种形式的套利机会便成会一项有利可图的活动，走私就是套利的形式之一。寻租或走私行为并不直接或间接生产商品和劳务，但能产生利润或收入。从经济学的角度讲，走私发生的基本前提是预期风险收益大于合法经营的利润。因此，只要有关税存在，走私的利益就会存在，如果打击和惩罚的力度不够的话，走私活动就难以避免，增加打击和惩罚的力度，一般会减少走私活动。下面我们从博弈的角度来分析这个结论。
该博弈的参与人是海关和走私者。海关的战略是打击和不打击，走私者的战略是走私和不走私。其博弈矩阵如下。（表2.23）
表2.23 走私博弈
走私者
走私 不走私 打击 Y-c+F，-Y-F Y-c，-Y 海关
不打击 0 ， E Y ，-Y
在博弈矩阵中，Y为应交关税，c是海关打击走私的成本，F为走私被查到时的罚款，E为走私成功时走私者获得的利润（E>0）。
如果假设c 若用P代表海关检查的概率，用q代表走私者走私的概率。给定q，海关选择打击（P=1）和不打击（P=0）的期望收益分别为∶ u1(1,q)?(Y?c?F)q?(Y?c)(1?q) u1(0,q)?0?q?Y(1?q) 令u1(1,q)?u1(0,q)，解之得∶ q?*c Y?F其含义是，如果走私者走私的概率小于C/（Y+F），海关的最优选择是不打击；如果走私者走私的概率大于c/（Y+F），海关的最优选择是打击；如果走私者走私的概率等于 c/（Y+F），税收机关随机选择打击和不打击。 给定p，走私者选择走私(q=1) 和不走私（q=0）的期望收益分别为∶ 19 u2(p,1)?(?Y?F)p?E(1?p) u（p?(?Y)(1?p) 2p,0)??Y令u（2p,1)?u2(p,0)，解之得∶ p?*Y?E Y?F?E其含义是，如果海关打击的概率小于（Y+E ）/（Y+F+E），走私者的最优选择是走私；如果海关打击的概率大于（Y+E） /（Y+F+E），走私者纳的最优选择是不走私；如果海关打击的概率等于（Y+E） /（Y+F+E），走私者随机选择不走私或走私。 因此，该博弈的混合纳什均衡是∶海关以（Y+E ）/（Y+F+E）的概率检查和打击走私，走私者以c/（Y+F）的概率选择走私。对于混合战略的理解，更为合理的解释可能是，现实中有许多个进口商，其中有c/（Y+F）比例的进口商走私，海关随机地按（Y+E ）/（Y+F+E）的比例来检查进口商的走私情况。 打击走私博弈的混合纳什均衡与应交关税Y、对走私的惩罚F、检查成本c及走私成功可以获得的非法收入E有关。 对走私的惩罚（包括刑事处罚，前面是为数量处理方便而简单的将其以罚款的形式表示）越重，应交关税越多，进口商走私的概率就越小。检查成本越高，走私成功可以获得的非法收入越多，进口商走私的概率就越大。 当然，这个结论与有关走私技术和检查成本的假设有关。首先，比如前面是假定海关检查，走私者就一定会被发现。如果不是这样，如走私者有很好的走私途径而不会被发现，则该结论就不一定成立。其次，如果检查成本与应交关税有关，如应交关税越多，检查成本越高，上述结论也难以成立。此外，应交关税较多的进口商如果更有积极性贿赂海关人员，上述结论也难成立。将所有这些情况考虑进去，打击走私是一个复杂的系统工程，需要许多部门的相互配合作战。但有一点是可以肯定的，加大对走私者的惩罚力度，俗话说“乱世用重典” ，走私者走私的积极性就会下降，走私的现象就会大大减少。 七、激励的悖论 悖论（paradox）源于希腊语，para意为“超越”，doxos意为“相信”。paradox的含义是∶本来可以相信的东西不能相信，而有的东西看起来是不正确的但反而确是正确的。历史上有许多悖论，如一个克里特人说∶“所有的克里特人都说谎” 的说谎者悖论；一个理发师说∶“我给所有不给自己理发的人理发” 的理发师悖论等等。有人说，博弈论的本质是悖论的。博弈中的许多例子都体现出悖论的思想，如前面“夫妻露宿”中的理性人的悖论等。激励的悖论是社会经济现象中可以经常观察到的一种悖论现象，即经常出现目标与手段相背离的情况，如同成语“南猿北辙” 所描述的情景一样。 博弈论专家泽尔腾用小偷与守卫之间的博弈来揭示了激励的悖论。 例子中说，一小偷欲偷窃有守卫看守的仓库，若小偷去偷时守卫睡觉（不负责任），则小偷偷窃成功（令其价值为V），若守卫没有睡觉（尽职尽责），则小偷会被抓住坐牢（设其效用为 -P）；再假设守卫睡觉而未被偷的效用为S，守卫睡觉而被偷则被解雇，其效用为 -D。其得益矩阵如下∶ 表2.24 守卫 睡 不睡 20
