???n?2?0.9025?1???/?n?2?
2 ?0.9025?0.9025???n?
解出
(ω/ωn)2=9.2564 ? ω/ωn=3.0424 ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s)
f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz)
（4）由上面知，当?≤5%时，ω/ωn=3.0424
当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时
ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s)
又由ωn=1/RC，则
C=1/ωnR=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84?104pF
5—5 分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总
=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。
解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意
??则
1?1???/????4?22n2??/?n?22?1?2%（取等号计算）
?1???/????4?22n??/?n?2?1/1.02
1+(ω/ωn)4﹣2(ω/ωn)2 +4×0.52(ω/ωn)2=0.96
(ω/ωn)4 ﹣(ω/ωn)2 +0.04=0 解出
(ω/ωn)2 =0.042或(ω/ωn)2 =0.96（舍去）
所以
ω/ωn =0.205 或?0.205（舍去）
?=0.205?n
则
fH =0.205f0 =0.205×30=6.15(kHz)
压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性
K????由题意得 ???/?n1???/?n?22???1?????2
??1??????1??2% （取等号计算）
26
???0.981?????2
(??)2 =0.9604+0.9604 (??)2
(??)2 =24.25 ? ??=4.924 ? ω=4.924/τ
fL =ω/2π=4.924/(2??)=4.924/(2? RC)=4.924/(2?×5×108×10?9 )
=1.57(Hz)
其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz
5—6 石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9×1010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求： (1)两极板间电压峰—峰值； (2)晶体厚度的最大变化。 解：（1）石英压电晶片的电容
Ca??0?rSd8.85?10?12?5.1?100?10?6?
1?10?3 =4.514 ×10-?12 (F) ≈4.5pF
由于Ra =1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω 则总电阻
R=Ra // R并 = 1014 //108 ≈108Ω
总电容
C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF)
又因
F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N，kq =2 pC/N
则电荷
Q=d11 F= kq F
Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N×0.01N=0.02 pC
所以
Uim?d11Fm?R1???RC?2?0.02?10?12?103?1081?103?108?24.5?10??122?
=0.756×10?3 (V)=0.756mV 峰—峰值：
Uim-im =2Uim =2×0.756=1.512mV
（2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100×10?6×9×1010 )=1.11×10?9 =Δdm /d
Δdm =d?m = 1×1.11×10?9 (mm)=1.11×10?9 mm
厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）
27
Δd =2Δdm =2×1.11×10?9 =2.22×10?9 (mm)
=2.22×10?12 m
5—7 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度)
解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度
K=Kq?Ku =5pC/g ×50 mV/pC=250mV/g=Uo/a
式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。
则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为
a=Uo/K=2×103/250=8(g)
5—8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在lHz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大? 解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为
???/?n1???/?n?2?1??5%，（取等号计算）
?/?n?0.951???/?n?2
(ω/ωn)2 =0.9025+0.9025 (ω/ωn)2 ω/ωn =3.04
τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π×1)=0.484(s)=RC
所以
R=τ/C=0.484/(500×10?12) =9.68×108?=968M?
5—9 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。 解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为
??12222nn
?1???/????4???/???1???/????4???/???1/1.05 （取等号）
2222nn242?1?5%
1?2???n?????n??4?0.12???n??0.907(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0
解出
(ω/ωn)2 =0.0485或(ω/ωn)2 =1.912（舍去）
则
ω/ωn≈0.22 ? ωH =0.22ωn
28
则
fH =0.22f0 =0.22×32=7.04(kHz)
5—10 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。
解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷
Q=80 pC/Pa ×1.4Pa=112 pC
输出电压为
Ua =Q/Ca =112×10?12 /(1×10?9)=0.112(V)
5—11 一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)?100mV；(2)10V；(3)?75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。 解：测力环总灵敏度
K=3.9 pC/N ×10mV/pC=39 mV/N = U0/F
式中，U0为输出电压，F为被测力，所以
F1 =U01 /K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N (压力)
F2 =U02 /K=10×10 3mV/39mV/N=256N (拉力) F3 =U03 /K=﹣75×10 3mV/39mV/N=﹣1923N (压力)
5—14 某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d11=2.31?10-12C/N。当0.1MPa压力垂直作用于PX平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压Ua的值。
解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷
Q并=2Q=2?d11 F=2?d11 ?πr2 =2×2.31×10?12×0.1×106 ×π×(1×10?2 )2 =145×10?12 (C) =145pC 总电容
C并=2C=2?0?rS/h=2?0?r?r2 /h =2×8.85×10?12×4.5×?×(1×10?2)2/0.2?10?3 =125.1×10?12 (F) =125.1pF 电极间电压为
U并= Q并/C并=145/125.1=1.16V
第6章 磁电式传感器
6—5 某动圈式速度传感器弹簧系统的刚度k=3200N／m，测得其固有频率为20Hz，今欲将其固有频率减小为10Hz，问弹簧刚度应为多大?
29
解： ?n?k/m?2?f0?f0?12?k/m?2?m?k/f0
3200/20?22
f0 =20Hz ， k=3200N/m时， 2?m?f0′=10Hz时，由k?2?mf0'
则
k?2?m??2f0'2?22?102?800??/m?
??26—6 已知恒磁通磁电式速度传感器的固有频率为10Hz，质量块重2.08N，气隙磁感应强度为1T，单匝线圈长度为4mm，线圈总匝数1500匝，试求弹簧刚度k值和电压灵敏度Ku值(mV/(m/s))。 解：由??k/m，则
k=ω2 m=(2?f)2 m=(2?×10)2×2.08/9.8
=8.38×102 (N/m)
Ku =e/v=NB0l0v/v=NB0l0
=1500×1×4×10?3 =6V/(m/s)=6000mv/(m/s)
6—7 某磁电式传感器要求在最大允许幅值误差2％以下工作，若其相对阻尼系数ξ=0.6，试求ω/ωn的范围。
解：由磁电势传感器的幅频特性
A????得其幅值动态误差为
??/?n?2?1???/?n?2?2?4?2??/?n?2??/?n?2
??取其等号计算
?1???/???n22?4?2??/?n?2?1?2%
2???n?4?1.022?1????n?2???4?0.62???n?2?解得 (ω/ωn)2 =12.354，或(ω/ωn)2 =2.067
ω/ωn =3.515，或 ω/ωn =1.438（舍去） 最大幅值误差小于2%时，其频率范围ω/ωn ≥3.515
第7章 热电式传感器
7—16 已知铜热电阻—Cul00的百度电阻比W(100)=1.42，当用此热电阻测量50℃温 度时，其电阻值为多少?若测温时的电阻值为92Ω，则被测温度是多少? 解：由 W（100）=R100 /R0 =1.42，则其灵敏度为
30
