中间位置，Cl=C2=C0，介质为空气，ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：D1、D2为理想二极管；及R1=R2=R=10KΩ；Rf=1MΩ，激励电压Ui=36V，变化频率f=1MHz。试求当动极板向右位移△x=10mm时，电桥输出端电压Usc?
习题图4-6
解：由习题图4-6可求
传感器初始电容
a40?10?3?12???b8.85?10??20?10?30?S22C0?0?? d0d01?10?3 =3.54×10?12（F）=3.54pF
当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为
?C?（或
?x101C0?C0??3.54?1.77?pF? a/240/228.85?10?12?20?10?3?10?10?3?12?c??x??1.77?10(F)?1.77pF ） ?3d1?10?0b则 C1 = C0+ΔC，C2 = C0??C，由双T二极管网络知其输出电压
USC = 2 k Ui fΔC
?R?R?10?10?2?10? ?2?10?10?2?10?2f446462?2R?R?2Rf?RfUif?C6?36?106?1.77?10?12
?2.55?V?4—7 一只电容位移传感器如习题图4-7所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板A、C和D是固定极板；板B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为d。B、C和D极板的长度均为a，A板的长度为2a，各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。
21
习题图4-7
解：参见习题图4-7知
CAC是CAB与CBC串联，CAD是CAB与CBD串联。
当动极板向左位移a/2时，完全与C极板相对（见题解4-7图），此时
CAB=CBC=ε0ab/d
则
CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d；
CAD=ε0ab/(2d+t)。
题解4-7图
同理，当动极板向右移a/2时，与上相仿（见题解4-7图），有
CAC =ε0ab/(2d+t)；CAD=ε0ab/2d
4—8 已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=(2?2)cm2，间隙d0=0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d0，而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。 解：初始电容
8.85?10?12?2?2?10?4C0??? d0d00.1?10?3?35.4?10?12(F)?35.4pF?S?0S当装配不平衡时（见题解4-8图(a)），可取其平均间隙计算（见题解4-8图(b)）
d?(d0?b)bd?0?d0?
22=0.1+0.01/2=0.105(mm)
则其电容为
8.85?10?12?2?2?10?4C?? ?3d0.105?10?0S =33.7×10-12(F)=33.7pF
22
题解4-8图
(a) (b) (c)
或利用积分法计算传感器的电容，（见题解4-8图(c)），在位置x处，取宽度为dx、长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为
dC?所以，总电容为
?0adxd0?bx/a
C??dC???b?ln?1??d??00d?bx/ab00?? ?12?228.85?10?(2?10)?0.01??12?ln?1???33.8?10(F)?33.8pF?30.1?0.01?10?Ca?0adx??0a2 两种计算方法结果接近，但积分法更为严密。
4-14 习题图4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆筒外经d=9.8mm，固定电极外圆筒内经D=10mm，初始平衡时，上、下电容器电极覆盖长度L1=L2=L0=2mm，电极间为空气介质。试求：
（1）初始状态时电容器C1、C2的值；
（2）当将其接入习题图4-14(b)所示差动变压器电桥电路，供桥电压E=10 V（交流），若传感器工作时可动电极筒最大位移?x= ?0.2mm，电桥输出电压的最大变化范围为多少？
(a) (b)
习题图4-14
解 （1）初始状态时
2??0L02???8.85?10?12?2?10?3C1?C2?C0??D10 lnlnd9.8?12?5.51?10(F)?5.51pF
23
（2）当动电极筒位移?x= +0.2mm（向上）时，L1=2+0.2=2.2mm，L2=2?0.2=1.8mm，则
2??0L12???8.85?10?12?2.2?10?3C1???6.06?10?12(F)?6.06pF
D10lnlnd9.82???8.85?10?12?1.8?10?3C2??4.96?10?12(F)?4.96pF
10ln9.8差动变压器电桥输出为
U?EC1?C2106.06?4.96????0.5(V) 2C1?C226.06?4.96同理，当动电极筒位移?x= ?0.2mm（向下）时，L1=2?0.2=1.8mm，L2=2+0.2=2.2mm，则
C1?4.96pF C2?6.06pF
差动变压器电桥输出为
U?EC1?C2104.96?6.06?????0.5(V) 2C1?C226.06?4.96因此，当传感器可动电极筒最大位移?x= ?0.2mm，电桥输出电压的最大变化范
围为?0.5V。
第5章 压电式传感器
5—3 有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力p=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压： (1)零度X切的纵向石英晶体； (2)利用纵向效应的BaTiO3。 解：由题意知，压电晶体受力为
F=pS=10×106×20×10-6=200(N)
（1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×10?12C/N 等效电容
Ca??0?rSd8.85?10?12?4.5?20?10?6? ?310?10 =7.97×10?14 (F) 受力F产生电荷
Q=d11F=2.31×10?12×200=462×10?2(C)=462pC
输出电压
24
Q462?10?12Ua???5.796?103?V? ?14Ca7.97?10 （2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×10?12C/N 等效电容
Ca??0?rSd =33.6×10-12(F)=33.6(pF) 受力F产生电荷
Q=d33F=191×10?12×200=38200×10?12 (C)=3.82×10?8C
输出电压
8.85?10?12?1900?20?10?6 ?10?10?3Q3.82?10?83?V? Ua???1.137?10?12Ca33.6?105—4 某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容CC=3000pF，示波器的输入阻抗为1MΩ和并联电容为50pF，求： (1)压电晶体的电压灵敏度足Ku； (2)测量系统的高频响应；
(3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少?
(4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大? 解：（1） Ku?Kq/Ca?2.5C/cm?2.5?109V/cm
1000pF （2）高频（ω→∞）时，其响应
kqUamd33?? FmCa?Cc?CiCa?Cc?Ci2.5C/cm ? ?6.17?108V/cm?12?1000?3000?50??10F Ku? （3）系统的谐振频率
1
?R?Ca?Cc?Ci?1?247?rads? ?6?121?10?1000?3000?50??10U?/?n由 K????im?，得
2Uam1???/?n? ?n?1? ???/?n1???/?n?2?1??5%（取等号计算）
25
