高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
2?z2dxdy? dS?1?zxy??R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS????R[x,y,z(x,y)]dxdy?
??Dxy 类似地? 如果?由x?x(y? z)给出? 则有
??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz?
?Dyz 如果?由y?y(z? x)给出? 则有
??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx?
?Dzx 应注意的问题? 应注意符号的确定? 例1? 计算曲面积分
??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy ? 其中?是长方体?的整个表面的
?外侧? ??((x? y? z) |0?x?a? 0?y?b? 0?z?c )?
解? 把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和?4? 左右面分别记为?5和?6?
?1? z?c (0?x?a? 0?y?b)的上侧? ?2? z?0 (0?x?a? 0?y?b)的下侧? ?3? x?a (0?y?b? 0?z?c)的前侧? ?4? x?0 (0?y?b? 0?z?c)的后侧? ?5? y?0 (0?x?a? 0?z?c)的左侧? ?6? y?b (0?x?a? 0?z?c)的右侧?
除?3、?4外? 其余四片曲面在yO z 面上的投影为零? 因此
2dydz?2dydz?2dyd?a2dydz?0dydz?a2bc ? xyx????????????3?4DyzDyz类似地可得
??y2dzdx?b2ac? ??z2dxdy?c2ab?
??222
xyzdxdy? 其中?是球面x?y?z?1外侧在x?0? y?0的部分? ??于是所求曲面积分为(a?b?c)abc? 例2 计算曲面积分
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解 把有向曲面?分成以下两部分? ?1? ?2?
z?1?x2?y2(x?0? y?0)的上侧? z??1?x2?y2(x?0? y?0)的下侧?
?1和?2在xOy面上的投影区域都是Dxy ? x2?y2?1(x?0? y?0)? 于是
??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy
??1?2
???xy1?x2?y2dxdy???xy(?1?x2?y2)dxdy
DxyDxy
?2??xyDxy?1221?x?ydxdy?22d?r2sin?cos?00??1?r2rdr?2?
15 三、两类曲面积分之间的联系
设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y? z)在?上连续? 如果?取上侧? 则有
??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy 另一方面? 因上述有向曲面?的法向量的方向余弦为
cos???zy?zx1? cos??? cos???
2222221?zx?zy1?zx?zy1?zx?zy故由对面积的曲面积分计算公式有
??R(x,y,z)cos?dS???R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy由此可见? 有
??R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?
?? 如果?取下侧? 则有
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??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy但这时cos??
?1? 因此仍有
221?zx?zy???R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?
?类似地可推得
??P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)cos?dS?
????Q(x,y,z)dzdx???P(x,y,z)cos?dS?
??综合起来有
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS?
??其中cos ?、cos ?、cos ?是有向曲面?上点(x? y? z)处的法向量的方向余弦? 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式?
??A?dS???A?ndS? 或??A?dS???AndS?
????其中A?(P? Q? R)? n?(cos ?? cos ?? cos ?)是有向曲面?上点(x? y? z)处的单位法向量? dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)? 称为有向曲面元? An为向量A在向量n上的投影? 例3 计算曲面积分
??(z2?x)dydz?zdxdy? 其中?是
?曲面z?1(x2?y2)介于平面z?0及z?2之间的部分的下侧?
2 解 由两类曲面积分之间的关系? 可得
?dxdy? 2?x)dydz?(z2?x)cos2?x)cos(z?dS?(z??????cos????在曲面?上?
提示? 曲面上向下的法向量为(x? y? ?1) )
co?s?x?1? cos??? dS?1?x2?y2dxdy?
1?x2?y21?x2?y2重庆三峡学院高等数学课程建设组
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故
??(z2?x)dydz?zdxdy???[(z2?x)(?x)?z]dxdy
??
?1(x2?y2)2?x]?(?x)?1(x2?y2)}dxdy
{[??42x2?y2?42?22cos2??1r2)rdr?8?? 2?1(x2?y2)]dxdy?d?(r[x???0?022x2?y2?4
? 解? 由两类曲面积分之间的关系? 可得
??(z2?x)dydz?zdxdy???[(z2?x)cos??zcos?]dS
??
?1(x2?y2)2?x]?x?1(x2?y2)?(?1)}dxdy
{[??2422x?y?4x(x2?y2)2dxdy?[x2?1(x2?y2)]dxdy ??42x2?y2?4x2?y2?4
???
?8?? ??d??(r2co2s??1r2)rdr0022?2提示?
x(x2?y2)2dxdy?0? ??4x2?y2?4
§10? 6 高斯公式 通量与散度
一、高斯公式
定理1设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成? 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在?上具有一阶连续偏导数? 则有
???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? ?x?y?z??P?Q?R或 ???(??)dv??x?y?z???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS?
? 简要证明 设?是一柱体? 上边界曲面为?1? z?z2(x, y)? 下边界曲面为?2? z?z1(x, y)?
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侧面为柱面?3? ?1取下侧? ?2取上侧? ?3取外侧? 根据三重积分的计算法? 有
z2(x,y)?R?R ???dv???dxdy?dz
z1(x,y)?z?z?Dxy?Dxy??{R[x,y,z2(x,y)]?R[x,y,z1(x,y)]}dxdy?
另一方面? 有
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?
1?1Dxy2?2Dxy
??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?
??R(x,y,z)dxdy?0?
?3
以上三式相加? 得
??R(x,y,z)dxdy???{R[x,y,z(x,y)]?R[x,y,z(x,y)]}dxdy ?
21?Dxy所以
?Rdv?R(x,y,z)dxdy?
????z???? 类似地有
?Pdv?P(x,y,z)dydz? ????x????
?Q????ydv???Q(x,y,z)dzdx? ??把以上三式两端分别相加? 即得高斯公式? 例1 利用高斯公式计算曲面积分
22
(x?y)dxdy?(y?z)xdydz? 其中?为柱面x?y?1???及平面z?0? z?3所围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧?
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