高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
流向曲面一侧的流量? 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x? y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))
给出? ?是速度场中的一片有向曲面? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)都在?上连续? 求在单位时间内流向?指定侧的流体的质量? 即流量??
如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域? 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v? 又设n为该平面的单位法向量? 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体? 当(v?^n)????时? 这斜柱体的体积为
2 A|v|cos??A v?n? 当(v?^n)?故??Av?n? 当(v?^n)??时? 显然流体通过闭区域
2A的流向n所指一侧的流量?为零? 而Av?n?0,
?时? Av?n?0? 这时我们仍把Av?n称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的2流量? 它表示流体通过闭区域A实际上流向?n所指一侧? 且流向?n所指一侧的流量为?Av?n? 因此? 不论(v?^n)为何值? 流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Av?n ? 把曲面?分成n小块? ?S1? ?S2? ? ? ?? ?Sn(?Si同时也代表第i小块曲面的面积)? 在?是光滑的和v是连续的前提下? 只要?Si的直径很小? 我们就可以用?Si上任一点(?i, ?i, ?i )处的流速
vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k
代替?Si上其它各点处的流速? 以该点(?i, ?i, ?i )处曲面?的单位法向量 ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k
代替?Si上其它各点处的单位法向量? 从而得到通过?Si流向指定侧的流量的近似值为 vi?ni?S i (i?1, 2, ? ? ? ,n) 于是? 通过?流向指定侧的流量 ???vi?ni?Si
i?1nn
??[P(?i,?i,?i)cos?i?Q(?i,?i,?i)cos?i?R(?i,?i,?i)cos?i]?Si?
i?1但 cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ?
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因此上式可以写成
???[P(?i,?i,?i)(?Si)yz?Q(?i,?i,?i)(?Si)zx?R(?i,?i,?i)(?Si)xy]?
i?1n 令??0取上述和的极限? 就得到流量?的精确值? 这样的极限还会在其它问题中遇到? 抽去它们的具体意义? 就得出下列对坐标的曲面积分的概念?
提示? 把?Si看成是一小块平面? 其法线向量为ni? 则通过?Si流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积?
此斜柱体的斜高为|vi|? 高为|vi|cos(vi?^ni)?vi?ni? 体积为vi?ni?Si ? 因为 ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k?
vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k?
vi?ni?Si?[P(?i, ?i, ?i)cos?i?Q(?i, ?i, ?i)cos?i?R(?i, ?i, ?i)cos?i]?Si ? 而 cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ?
所以 vi?ni?Si?P(?i, ?i, ?i)(?Si)yz?Q(?i, ?i, ?i)(?Si)zx?R(?i, ?i, ?i)(?Si)xy ?
对于?上的一个小块?? 显然在?t时间内流过?的是一个弯曲的柱体? 它的体积近似于以?为底? 而高为
(|V|?t)cos(V?^n)?V?n ?t
的柱体的体积? V?n?t?S? 这里n?(cos?? cos?? cos?)是?上的单位法向量? ?S表示?的面积? 所以单位时间内流向? 指定侧的流体的质量近似于
V?n?S?(P(x? y? z)cos??Q(x? y? z)cos? ?R(x? y? z)cos? )?S ?
如果把曲面?分成n小块?i(i?1? 2? · · · ? n)? 单位时间内流向?指定侧的流体的质量近似于 ???{P(xi,yi,zi)cos?i?Q(xi,yi,zi)cos?i?R(xi,yi,zi)cos?i}?S?
i?1n按对面积的曲面积分的定义?
????{P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?}dS???V?ndS?
?? 舍去流体这个具体的物理内容? 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念? 定义 设?为光滑的有向曲面? 函数R(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n块小曲面?Si(?Si同时也代表第i小块曲面的面积)? 在xOy面上的投影为(?Si)xy? (?i, ?i, ?i )是?Si上任意取定的一点? 如果当各小块曲面的直径的最大值??0时?
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??0i?1lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy
n总存在? 则称此极限为函数R(x? y? z)在有向曲面?上对坐标x、y的曲面积分:? 记作
??R(x,y,z)dxdy?
?即
lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy? ??R(x,y,z)dxdy???0i?1?n类似地有
lim?P(?i,?i,?i)(?Si)yz? ??P(x,y,z)dydz???0i?1?n
lim?Q(?i,?i,?i)(?Si)zx? ??Q(x,y,z)dzdx???0i?1?n其中R(x? y? z)叫做被积函数? ?叫做积分曲面?
定义 设?是空间内一个光滑的曲面? n?(cos? ? cos? ? cos?)是其上的单位法向量? V(x? y? z)?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))是确在?上的向量场? 如果下列各式右端的积分存在? 我们定义 并称
??P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)cos?dS?
????Q(x,y,z)dzdx???Q(x,y,z)cos?dS?
????R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?
?????P(x,y,z)dydz为P在曲面?上对坐标y、z的曲面积分? ??Q(x,y,z)dzdx为Q在
?曲面?上对坐标z、x的曲面积分?
??R(x,y,z)dxdy为R在曲面?上对坐标y、z的曲面积
?分? 其中P、Q、R叫做被积函数? ?叫做积分曲面? 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分? 对坐标的曲面积分的存在性? 对坐标的曲面积分的简记形式?
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在应用上出现较多的是
??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx???R(x,y,z)dxdy
??????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?
? 流向?指定侧的流量?可表示为 ????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?
? 一个规定? 如果?是分片光滑的有向曲面? 我们规定函数在?上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和? 对坐标的曲面积分的性质?
对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质? 例如 (1)如果把?分成? 1和?2? 则
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
?
???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
?1?2(2)设?是有向曲面? ??表示与?取相反侧的有向曲面? 则
????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
? 这是因为如果n?(cos? ? cos? ? cos?)是?的单位法向量? 则??上的单位法向量是 ?n ?(? cos? ? ?cos? ? ?cos?)?
????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
?????{P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?}dS ????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
? 二、对坐标的曲面积分的计算法
将曲面积分化为二重积分? 设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y? z)在?上连续? 则有
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??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy其中当?取上侧时? 积分前取“?”? 当?取下侧时? 积分前取“?”? 这是因为? 按对坐标的曲面积分的定义? 有
lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy? ??R(x,y,z)dxdy???0i?1?n当?取上侧时? cos ??0? 所以(?Si)xy ?(??i)xy? 又因(?i, ?i, ?i)是?上的一点? 故?i?z(?i, ?i)? 从而有
?R(?i,?i,?i)(?Si)xy??R[?i,?i,z(?i,?i)](??i)xy?
i?1i?1nn令??0取上式两端的极限? 就得到
??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy同理当?取下侧时? 有
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy
因为当?取上侧时? cos??0? (?Si)xy?(??i)xy? 当(?i, ?i, ?i)??时? ?i?z(?i, ?i)? 从而有
lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy ??R(x,y,z)dxdy???0i?1?n
?lim?R[?i,?i,z(?i,?i)](??i)xy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?
??0i?1Dxyn同理当?取下侧时? 有
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy这是因为n?(cos?? cos? ? cos?)??11? {?zx, ?zy, 1}? cos???22221?zx?zy1?zx?zy重庆三峡学院高等数学课程建设组
