高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
??x(?x)dx??xxdx?2?100113x2dx?4? 05 第二种方法? 以y为积分变量? L的方程为x?y2? y从?1变到1? 因此
2y(y2)?dy?2y4dy?4 ? xydx?y?L??1??1511 例2? 计算
?Ly2dx?
(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ? (2)从点A(a? 0)沿x轴到点B(?a? 0)的直线段? 解 (1)L 的参数方程为 x?a cos?? y?a sin??
?从0变到??
因此
4a3? 2dx?a2sin2?(?asin?)d??a3(2?)dcos??y1?cos??L?0?03??(2)L的方程为y?0? x从a变到?a? 因此
?Ly2dx??0dx?0?
a?a 例3 计算
?L2xydx?x2dy? (1)抛物线y?x上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (2)抛物线
2
x?y2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (3)从O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R (1? 1)的有向折线OAB ? 解 (1)L? y?x2? x从0变到1? 所以
11?L?L2xydx?x2dy??(2x?x2?x2?2x)dx?4?x3dx?1?
00(2)L? x?y2? y从0变到1? 所以
2xydx?x2dy??01(2y2?y?2y?y4)dy?5?0y4dy?1 ?
1 (3)OA? y?0? x从0变到1? AB? x?1? y从0变到1?
?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy
??(2x?0?x2?0)dx??(2y?0?1)dy?0?1?1?
0011
例4? 计算
??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是从点A(3? 2? 1)到点B(0? 0? 0)的直线段
AB?
解? 直线AB的参数方程为
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x?3t? y?2t? x?t? t从1变到0? 所以 所以
I??[(3t)3?3?3t(2t)2?2?(3t)2?2t]dt?87?t3dt??87?
11400 例5? 设一个质点在M(x? y)处受到力F的作用? F的大小与M到原点O的距离成正比?
2y2xF的方向恒指向原点? 此质点由点A(a? 0)沿椭圆2?2?1按逆时针方向移动到点B(0? b)?
ab求力F所作的功W?
2y2x 例5? 一个质点在力F的作用下从点A(a? 0)沿椭圆2?2?1按逆时针方向移动到点abB(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比? 方向恒指向原点? 求力F所作的功W?
解? 椭圆的参数方程为x?acost? y?bsint ? t从0变到
? ?? 2
r?OM?xi?yj? F?k?|r|?(?r)??k(xi?yj)?
|r|其中k>0是比例常数?
?xdx?ydy? 于是 W????kydy??k?AB ?kxdx AB
??k?2(?a2costsint?b2sintcost)dt
0?
?k(a2?b2)02sintcostdt?k(a2?b2)? 2??
三、两类曲线积分之间的联系 由定义? 得
?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds
??{P,Q}?{cos?,sin?}ds??F?dr?
LL其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?Tds?{dx? dy}?
类似地有
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??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds
??{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds??F?dr?
??其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?
§10?3 格林公式及其应用
一、格林公式 单连通与复连通区域?
设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为复连通区域?
对平面区域D的边界曲线L? 我们规定L的正向如下? 当观察者沿L的这个方向行走时? D内在他近处的那一部分总在他的左边? 区域D的边界曲线L的方向?
定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一阶连续偏导数? 则有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?
L?x?y其中L是D的取正向的边界曲线? 简要证明?
仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明?
设D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因为
?P连续? 所以由二重积分的计算法有
?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?
21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
?LPdx??LPdx??LPdx??aP[x,?1(x)]dx??bP[x,?2(x)]dx
12ba 因此
??{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?
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????Pdxdy??Pdx?
L?yD 设D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 类似地可证
?Q???xdxdy??LQdx? D??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy? ???L?x?y?D?由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上两式同时成立? 两式合并即得
应注意的问题?
对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向?
设区域D的边界曲线为L? 取P??y? Q?x? 则由格林公式得
2??dxdy??xdy?ydx? 或A???dxdy?1?xdy?ydx?
L2LDD 例1? 椭圆x?a cos? ? y?b sin? 所围成图形的面积A? 分析? 只要
?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A? ?x?y?x?yDD 解? 设D是由椭圆x=acos? ? y=bsin? 所围成的区域? 令P??1y? Q?1x? 则?Q??P?1?1?1?
22?x?y22于是由格林公式?
A???dxdy???1ydx?1xdy?1??ydx?xdy
L222LD2?2??1?(absin2??abcos2?)d??1ab?d???ab? 2020
例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线? 证明
?L2xydx?x2dy?0?
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证? 令P?2xy? Q?x2? 则
?Q?P??2x?2x?0? ?x?y因此? 由格林公式有
?L2xydx?x2dy????0dxdy?0? (为什么二重积分前有“?”号？ )
D2 例3? 计算
??e?ydxdy? 其中D是以O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)为顶点的三角形闭区域?
D 分析? 要使
?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y? ?x?yQ?xe?y? 则
2 解? 令P?0?
?Q?P?y2??e? 因此? 由格林公式有 ?x?y22
??e?ydxdy?2D1?xe?ydy??xe?ydy??0xe?xdx?2(1?e?1)? OA?AB?BOOA12 例4 计算
xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线?
L的方向为逆时针方向?
?y?Qy2?x2?Px22
解? 令P?2? Q?2? 则当x?y?0时? 有???
?x(x2?y2)2?yx?y2x?y2记L 所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得
xdy?ydx?Lx2?y2?0?
当(0? 0)?D时? 在D内取一圆周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l围成了一个复连通区域D 1? 应用格林公式得
xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l的方向取逆时针方向? 于是
2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydx? ?d??2?? ?Lx2?y2?lx2?y2?02r重庆三峡学院高等数学课程建设组
