高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分
教学目的： 1.
2. 3. 4. 5.
理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握计算两类曲线积分的方法。
熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 知道散度与旋度的概念，并会计算。
6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点:
1、两类曲线积分的计算方法； 2、格林公式及其应用； 3、两类曲面积分的计算方法； 4、高斯公式、斯托克斯公式；
5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点：
1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。
§10.1 对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量?
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上? 已知曲线形构件在点(x? y)处的线密度为?(x? y)? 求曲线形构件的质量?
把曲线分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧长)? 任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段质量的近似值?(?i ? ?i)?si? 整个物质曲线的质量近似为M???(?i,?i)?si?
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令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 则整个物质曲线的质量为
M?lim??(?i,?i)?si?
??0i?1n 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到?
定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当各小
i?1n弧段的长度的最大值??0? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? 记作
?Lf(x,y)ds? 即
lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段?
设函数f(x? y)定义在可求长度的曲线L上? 并且有界?
将L任意分成n个弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧长? 在每一弧段?si上任取一点(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si?
i?1nn 令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果当??0时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分? 记作
n?Lf(x,y)ds? 即
lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段?
曲线积分的存在性? 当f(x? y)在光滑曲线弧L上连续时? 对弧长的曲线积分
?Lf(x,y)ds是存在的? 以后我们总假定f(x? y)在L上是连续的?
根据对弧长的曲线积分的定义?曲线形构件的质量就是曲线积分中?(x? y)为线密度?
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?L?(x,y)ds的值? 其
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对弧长的曲线积分的推广?
lim?f(?i,?i,?i)?si? ??f(x,y,z)ds???0i?1n 如果L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和? 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2? 则规定
?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?
L1L2 闭曲线积分? 如果L是闭曲线? 那么函数f(x? y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作
?Lf(x,y)ds?
对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则
?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则
?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?
2 性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则
?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?
|?f(x,y)ds|??|f(x,y)|ds
LL特别地? 有
二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义? 如果曲线形构件L的线密度为f(x? y)? 则曲线形构件L的质量为
?Lf(x,y)ds?
x??(t)? y?? (t) (??t??)?
另一方面? 若曲线L的参数方程为 则质量元素为
f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
曲线的质量为
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即
??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt? ?Lf(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
??? 定理 设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续? L的参数方程为 x??(t)? y??(t) (??t??)?
其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一阶连续导数? 且??2(t)???2(t)?0? 则曲线积分在? 且
?Lf(x,y)ds存
?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?
?? 证明（略）
应注意的问题? 定积分的下限?一定要小于上限?? 讨论?
(1)若曲线L的方程为y??(x)(a?x?b)? 则提示? L的参数方程为x?x? y??(x)(a?x?b)?
?Lf(x,y)ds??
?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?
ab (2)若曲线L的方程为x??(y)(c?y?d)? 则提示? L的参数方程为x??(y)? y?y(c?y?d)?
?Lf(x,y)ds??
?Lf(x,y)ds??cdf[?(y),y]??2(y)?1dy?
(3)若曲?的方程为x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)? 则
??f(x,y,z)ds??
提示?
??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?
?? 例1 计算
?Lyds? 其中L是抛物线y?x2上点O(0? 0)与点B(1? 1)之间的一段弧?
解 曲线的方程为y?x2 (0?x?1)? 因此
?Lyds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?
001211 例2 计算半径为R、中心角为2?的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为
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??1)?
解 取坐标系如图所示? 则I? 曲线L的参数方程为
x?Rcos?? y?Rsin? (????
??Ly2ds?
I??y2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?
L??
?R3?sin2?d??R3(??sin? cos?)?
??? 例3 计算曲线积分
??(x2?y2?z2)ds? 其中?为螺旋线x?acost、y?asint、z?kt上相应
于t从0到达2?的一段弧?
解 在曲线?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且 于是
ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?
??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt
02?
?2?a2?k2(3a2?4?2k2)?
3 小结? 用曲线积分解决问题的步骤? (1)建立曲线积分?
(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) ? 确定参数的变化范围? (3)将曲线积分化为定积分? (4)计算定积分?
§10? 2 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功?
设一个质点在xOy面内在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B? 试求变力F(x? y)所作的功?
用曲线L上的点A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n个小弧段? 设Ak?(xk ? yk)? 有向线段AkAk?1的长度为?sk? 它与x轴的夹角为?k ? 则
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