高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
解 记L 所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得
xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0? D 当(0? 0)?D时? 在D内取一圆周l? x2?y2?r2(r?0)? 由L及l围成了一个复连通区域D1? 应用格林公式得
xdy?ydx?Q?P?(?L?lx2?y2???x??y)dxdy?0? D1即
xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l的方向取顺时针方向?
xdy?ydxxdy?ydx2?r2cos2??r2sin2?于是 ?d??2?? ???22??0Lx2?y2lx?yr2?y?Qy2?x2?Px22
分析? 这里P?2? Q?2? 当x?y?0时? 有?222?? 22?xx?yx?y(x?y)?y
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关?
设G是一个开区域? P(x? y)、Q(x? y)在区域G内具有一阶连续偏导数? 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2? 等式
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy
12恒成立? 就说曲线积分 设曲线积分的曲线? 则有 因为
?LPdx?Qdy在G内与路径无关? 否则说与路径有关?
1和
?LPdx?Qdy在G内与路径无关? L
2L 2是G内任意两条从点A到点B
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
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?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?0
1212 ?
?LPdx?Qdy??L12?Pdx?Qdy?0??L1?(L2?)Pdx?Qdy?0?
所以有以下结论? 曲线积分
?LPdx?Qdy在G内与路径无关相当于沿G内任意
?LPdx?Qdy等于零?
闭曲线C的曲线积分
定理2 设开区域G是一个单连通域? 函数P(x? y)及Q(x? y)在G内具有一阶连续偏导数? 则曲线积分
?LPdx?Qdy在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）
的充分必要条件是等式
?P??Q
?y?x在G内恒成立? 充分性易证? 若
?P??Q? 则?Q??P?0? 由格林公式? 对任意闭曲线L? ?y?x?x?y有
??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0? ?L????x?y?D? 必要性?
假设存在一点M0?G? 使
?Q?P????0? 不妨设?>0? ?x?y则由
?Q?P?的连续性? 存在M0的一个? 邻域U(M0, ?)? ?x?y?Q?P???? 于是沿邻域U(M0, ?)边界l 的闭曲线积分 ?x?y2使在此邻域内有
?Pdx?Qdy?lU(M0,?)??(?Q?P??)dxdy????2?0? ?x?y2重庆三峡学院高等数学课程建设组
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这与闭曲线积分为零相矛盾? 因此在G内 应注意的问题?
?Q?P??0? ?x?y 定理要求? 区域G是单连通区域? 且函数P(x? y)及Q(x? y)在G内具有一阶连续偏导数? 如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立? 破坏函数P、Q及
?P、?Q连续性的点称为奇点? ?y?x 例5 计算
?L2xydx?x2dy? 其中L为抛物线y?x2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?
解? 因为
?P??Q?2x在整个xOy面内都成立? ?y?x所以在整个xOy面内? 积分
?L2xydx?x2dy与路径无关?
?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy
??12dy?1?
01讨论? 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 问
xdy?ydx?Lx2?y2?0是否一定成立？
提示?
这里P?2和Q?2在点(0? 0)不连续?
x?y2x?y2?yx?Qy2?x2?P因为当x?y?0时? ??? 所以如果(0? 0)不在L所围成的区域内? 则结论
?x(x2?y2)2?y2
2
成立? 而当(0? 0)在L所围成的区域内时? 结论未必成立?
三、二元函数的全微分求积
曲线积分在G内与路径无关? 表明曲线积分的值只与起点从点(x0? y0)与终点(x? y)有关? 如果
(x,y)0?LPdx?Qdy与路径无关? 则把它记为?(x,y)Pdx?Qdy
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即
?LPdx?Qdy??(x,y)0(x,y)(x0,y0)Pdx?Qdy?
若起点(x0? y0)为G内的一定点? 终点(x? y)为G内的动点? 则 u(x? y)??(x,y)Pdx?Qdy
0为G内的的函数?
二元函数u(x? y)的全微分为du(x? y)?ux(x? y)dx?uy(x? y)dy?
表达式P(x? y)dx+Q(x? y)dy与函数的全微分有相同的结构? 但它未必就是某个函数的全微分?
那么在什么条件下表达式P(x? y)dx+Q(x? y)dy是某个二元函数u(x? y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？
定理3 设开区域G是一个单连通域? 函数P(x? y)及Q(x? y)在G内具有一阶连续偏导数? 则P(x? y)dx?Q(x? y)dy 在G内为某一函数u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式
?P??Q
?y?x在G内恒成立?
简要证明?
必要性? 假设存在某一函数u(x? y)? 使得 du?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 则有
?P??(?u)??2u? ?Q??(?u)??2u? ?y?y?x?x?y?x?x?y?y?x2u?P2u?Q?? 因为?、?连续? 所以 ?x?y?y?y?x?x?2u??2u? 即?P??Q?
?y?x?x?y?y?x 充分性? 因为在G内
?P??Q? 所以积分P(x,y)dx?Q(x,y)dy
?L?y?x在G内与路径无关? 在G内从点(x0? y0)到点(x? y)的曲线积分可表示为
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考虑函数u(x? y)?因为 u(x? y)? 所以
y?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
0000(x,y)?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy
xx0(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dx?
y0?u??yQ(x,y)dy??xP(x,y)dx?P(x,y)?
?x?x?y00?x?x0?u?Q(x,y)? 从而du ?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 即P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某一函
类似地有
?y数的全微分?
求原函数的公式?
(x,y)xu(x,y)??(x0,y0)x0yP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
yy0xu(x,y)??P(x,y0)dx??Q(x,y)dy? u(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dx?
y0x0 例6 验证?数?
xdy?ydx在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函22x?y 解? 这里P?2?
x?y2?yQ?x? x2?y2 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数? 且有
?Qy2?x2?P ???
?x(x2?y2)2?y所以在右半平面内?
xdy?ydx是某个函数的全微分?
x2?y2 取积分路线为从A(1? 0)到B(x? 0)再到C(x? y)的折线? 则所求函数为
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u(x,y)??(x,y)xdy?ydx(1, 0)x2?y2?0??y0xdyy? ?arctanxx2?y2
