得很细小，难以照准或无法辨认，这时即使水准仪没有i角误 差，在水准尺上的读数含有较大的误差。
为了解决这些问题，当水准路线必须跨越河流时，可在两岸
选定立尺点A、B和测站点I、J (图4-23)。I、J同时也是立尺 点。选点时使AI、BJ的长度相等，并与两岸水准连测的视距相当。
观测时，在I处后视A点，水准尺读数为a，再前视B点，水准尺读数为b，设水准仪的i 角误差对读数a、b的影响为?1、?2、A、J两点的高差为 haj??a??1???b??2?
将水准仪搬到对岸J点，后视I点，读数为c，前视B点，读数为d，水准仪的i角误差对 读数c、d的影响为?2、?1、J、B两点的高差为
hjb??c??2???d??1? 因此，A、B两点的高差为 hab?haj?hib
??a??1???b??2???c??2???d??1? (4-35) ?a?c?b?d
这样，由于在两个测站上远近视距是相等的，水准仪的i角误差对读数的影响相互抵消。 实际上水准仪的i角误差不是固定不变的，只有当视距小于500m且换测很快时，这种方法才 是可行的。
为了更好的消除水准仪的i角误差和大气折光的影响，最好是用两台同型号的水准仪在两岸 同时观测，并尽量使AI=BJ、AJ=BI。选点时要尽量选在两岸高差不大、地形相似，、跨越距离较 短的地方。一般当跨河视线长度小于300m时，视线距离水面的高度不小于2m，视线长度大于300m时，视线距离水面的高度不小于3m。两台仪器同时测定的高差的差值对三等水准来说应不超过8mm，对四等水准来说应不超过16mm，一般公路水准测量不应超过24mm，如不符合要求，应重新测量。 用两台仪器对测一次或用一台仪器往返各测一次为一个测回。跨河水准必须测两个测回(表4-15)。 105 跨河水准测量一般要求 表4-15 跨河视线长度 ＜500m 500～1000m 1000～1500m 1500～2000m ＞2000m
2 2 4 4 6 三、四等水准 双回测数 组数 2 2 2 3 3 一般公路水准 双回测数 1 2 3 3 4 组数 2 2 2 3 3 例16 某三等跨河水准测量观测值列入表4-16，河宽约500m，计算两测回的平均高差。 跨河水准测量计算 表4-16 测回 1 方向 A(后) B(前) 读数 1961 1340 高差 0.621 平均高差 0.620 备注 B(后) A(前) A(后) 2 B(前) B(后) A(前)
1090 1709 1665 1042 0890 1511 -0.619 fh?2mm＜8mm hab?0.621 0.622 0.623 -0.621 6．水准测量的精度
水准测量的精度受到测量中偶然误差(读数误差、水准管气泡居中误差等)和系统误差(仪器误 差、系统折光误差等)的影响。高差中误差的表达式一般为： mh?222?L??L (4-36)
其中，?为单位距离中的偶然误差，?为单位距离的系统误差。一般情况下，系统误差的 影响小于偶然误差的影响，尤其是当水准点间距离较小时。因此，根据偶然误差的特性，水准 测量测定的两点间高差的精度可表示为： mh?ML (4—37)
式中：M——每公里的高差中误差，单位为mm； L——两水准点间的距离，单位为km。 若以M为单位权中误差，则水准路线的权为P?1L。
两水准点之间的高差一般都要进行往返观测，取其中值作为观测值。若水准点之间的距离较长，也可分为若干段进行测量。因此，各等级水准测量的精度用每公里的往返观测高差中数的中误差来衡量，并根据式(4-36)来规定往返观测的容许差值以及水准路线的容许闭合差。
往返观测差值和水准路线闭合差属于真误差，由它可以评定水准测量的精度。由于测段和水准路线长短不一，故是不等权观测。令观测值的误差为?′，其权为p，观测值个数为n，则单位权中误差为
????P??? （4-38）
''n 106 因此，按往返测量的差值?可求得水准测量每公里偶然中误差M?，设lkm单程观测的权为1， 第i段的长度为Si，则 M??1????? (4-39) 2n?S??? 同样，对于长度为L的单一闭合水准路线或附合水准路线来说，每公里高差中数的全中
误差为
M???????L (4-40)
单一的闭合水准路线或附合水准路线的最弱点在路线的中部。为了保证最弱点的必要精 度，应根据每公里高差中数的全中误差来限制水准路线的长度L。最弱点的高程中误差为： mh?L2M?
因此，单一的闭合水准路线或附合水准路线的容许长度为：
?2mh L???M???? (4-41) ??2 水准测量的一般要求列于表4-17。
水准测量的一般要求 表4-17 等级 三 仪器 水准仪 DS1 DS3 DS3 DS10 DS3 水准尺 因瓦 双面 双面 普通 单面 每公里高 差中误差 ±6㎜ ±6㎜ ±10㎜ ±10㎜ ±15㎜ 附合路 线长度 观测次数 与已知点联测 附合成环 往返较差 平地 山区 四 五
二、三角高程测量
三角高程(或称测距高程)测量是根据两点间的距离和竖直角，应用三角公式计算两点间的高差。三角测量的精度比水准测量低，但这种方法简便、灵活，受地形的限制小，因此，常用于山区的高程测量。三角高程测量一般应在一定密度的水准测量控制之下。
如图4-24，设仪器高度为i，反光棱镜高度为l，测距仪测得 两点间的斜距为S，竖直角为?，则A、B两点间的高差为：
hab?S?sin??i?l (4-42) 上面公式是假设以水平面来起算的，实际上，高程的起算面 是平均海水面(曲面)，因此，在较长距离测量时，要考虑地球曲率 和大气折光对高差的影响，在高差计算中加以改正。这两项改正
称为两差改正。 图4-24 hab?S?sin??i?l?hS球?h气
2
?S?sin??i?l?2R?kS2R2 (4-43) 107
式中R为地球曲率半径，取6371km，k为大气折光系数。一般来说，两差改正很小，当两 点间的距离小于400m时，可以不考虑。
1．三角高程测量的精度
由式(4-43)可知 mh222?S2?S?222?mssin??????ma???2R??????mk2?mi2?ml2 （4-44） ?? 由于?角一般不大，因此，测距误差ms对测定高差的影响不是主要的。若采用对中杆， 仪器高和棱镜高的测量误差mi、ml大约为lmm。竖直角的观测误差ma对高差测定的影响与 距离成正比，大气折光系数误差mk与距离的平方成正比。这正是影响高差测定精度的两项 主要误差。因此，除了要保证一定的竖直角观测精度外，更要采取克服大气折光影响的措施， 并限制一次传递高程的距离。
竖直角的对向观测可以抵消一部分大气折光系数的影响。若能用两台同型号的仪器做对 向观测，则能更好地消除大气折光误差的影响。同时，安置仪器时，使两镜站之间的距离大致 相等，也可减少大气折光误差的影响。
三角高程要进行往返观测。对一、二级三角高程来说，往返观测的高差较差(以㎜计)不 应大于0.2S和0.4S，S以m为单位。若往返观测的高差较差符合要求，取其平均值作为观测值。 三角高程测量的主要技术要求应符合表4—18规定。
三角高程测量主要技术要求 表4-18 等级 仪器 测回数 三丝法 中丝法 3 指标差 较差″ ≤7 竖直角 较差″ ≤7 对向观测高 差较差㎜ 4060附合或环形 闭合差㎜ 2030四等 DJ2 S S ?S?S 五等 DJ2 1 2 ≤10 ≤10 注：S为测距仪测量的边长。
三角高程测量是高程控制测量的一种补充手段，其精度应与同等级的水准测量相同。 2．三角高程测量路线的布设
由以上分析可知，三角高程每公里的高差中误差随着距离加长而增大。因此，各等级的三 角高程测量必须限制一次传递高程的距离。三角高程测量路线的总长原则上可参照同等级的水准 测量路线的长度。但考虑到大气折光误差多少具有系统误差的性质，所以，三角高程测量路线不宜 过长，并尽可能组成闭合多边形，以进行高差闭合差检核。
《规范》规定，四等三角高程应起讫于不低于三等水准的高程点上，五等三角高程应起讫于 不低于四等的水准高程点上，其边长均不应超过lkm，边数不应超过6条。当边长小于0.5km或单 纯作高程控制时，边数可增加一倍。
由于三角高程测量和平面控制测量必须精确测定距离和竖直角，因此，结合平面控制测量的导线布设，同时建立平面与高程控制网是经济、合理的。
第四节 坐标换带和距离改正
一、坐标换带
地球的形状与大小，即大地水准面的形状与大小，十分接近一个两极稍扁的旋转椭球体。 我们平常所用的地形图一般采用高斯投影，即横轴椭圆柱正形投影。如图4-25所示，椭球与 108 椭圆柱面相切的子午线称为中央子午线或轴子午线，即高斯平面直角坐标系的X轴。将中央 子午线东西方向一定经差(一般为6°或3°)范围内地区投影到椭圆柱面上，再把椭圆柱面按某 一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系统。
图 4-25
高斯投影中，除中央子午线外，椭球面上任何两点投影到椭圆柱面上，两点间线段的长度 均发生变形，且随着中央子午线两侧经差的增大，长度变形加剧。为了控制这种长度变形，使 它在测图和用图时影响很小，在相隔一定地区另立中央子午线，即采用分带投影。我国国家测
量规定采用6°带和3°带两种分带办法。一般地，对于对于
110000125000～
1100000的地形图采用6°带，
或更大比例尺的地形图采用3°带，同时还规定每一个6°带向东加宽30′，向西加宽
15′或7.5′，以保证在投影带的边缘部分有两套坐标和地形图，便于在边缘部分补点、计算。有 些测绘单位为了控制长度变形，满足工程放样的需要，往往对
11000、
1500或更大比例尺的地形图采
用1.5°带或独立投影带。由于采用分带投影，椭球面上统一的坐标系被分割成相互独立的坐标系。在公路施工测量中，常常会遇到内容完全相同的地形图中点的坐标不一样的情况，就是在测图时采用了不同中央子午线的缘故，需要进行坐标换带计算。
1．有关参考椭球元素及辅助量
参考椭球是由一个母椭圆绕其短轴旋转而成的椭球体，母椭圆称为子午圈，垂直于短轴的平面与椭球的截线称为平行圈(如图4-26)。
1)偏心率
当母椭圆的长半径a和短半径b确定后，参考椭球的大小也 随之确定。习惯上，用偏心率来表示参考椭球的形状和大小，即 ， 第一偏心率 e?第二偏心率
e?'a?ba22
a?ba22 图4-26
我国采用的克氏椭球长半径a=6378245m，短半径b=6356863.21877m，按上式可计算出： e2?0.00669342162297 e'2?0.00673852541468
2)卯酉曲率半径
109
设椭球上某点P的法线为PKP，包含PKP的平面与椭球南北方向的交线就是子午圈，与之垂直的东西方向的交线是卯酉圈(如图4-27)。设P点的纬度为B，卯酉曲率半径为N，平行圈曲率半径为r，P点的平行圈和卯酉圈具有同一条东西方向的切线。根据微分几何中的麦尼尔第二定律可得
N?rcosBxcosB
而椭球面上的平行圈是一个圆，其半径就是P点在子午直角坐标系中的x，因此 N?子午椭圆的方程为 对它进行求导
xa22 (4-45)
?yb22?1 （4-46）
